パデ（Pade）近似

質問

皆さんよろしくお願いいたします。

表題の近似計算とはどのようなものでしょうか。
ネットを見ても理解できるものが有りません。
手持ちの教科書（微積分、解析学）には乗っていませんでした。
例題として小職手持ちの制御工学の教科書に、e^(Lx)のパデ近似は次式で表わされるとあります。
どのように導いたのでしょうか。
1次/1次の場合e^(Lx)≒(1－Lx/2)/(1+Lx/2)
2次/2次の場合e^(Lx)≒{1－(Lx)/2＋(L^2)*(x^2)/12}/{(1+(Lx)/2+(L^2)*(x^2)/12}
3次/3次の場合e^(Lx)≒{1－(Lx)/2＋(L^2)*(x^2)/12－(L^3)*(x^3)/120}/{(1+(Lx)/2+(L^2)*(x^2)/12+(L^3)*(x^3)/120}
当方工学出身ですが、初めてこの近似の存在を知りました。
数学的に、どのような定義でどう導いたかご教示いただければ幸いです。

回答No.6

arrysthmia · ベストアンサー

(1) 概ね賛成です。
r^(k)(0) － f^(k)(0) = 0 は、第 k 次項における係数を一致させること
であり、それを k = 0, 1, 2, …, n+m について行う。』 だと思います。
それが Pade近似の定義そのものです。

「 零点を一致させること 」 ＝ 「 係数を一致させること 」
の方は、意味がよく分かりません。 私の理解としては、
「 近似すること 」 ＝ 「 係数を一致させること 」
といった感じなのですが、コレで伝わるでしょうか？

x = a の近傍において f(x) を r(x) で近似するために、
両者のテーラー展開の係数を 低次（0～n+m 次）の項について一致させる。
それは、x = a を f(x) － r(x) の n+m 位の零点とするのと同じことである。』
とでも言えばよいのかな。

係数を一致させるのは f(x) と r(x) であり、
零点が一致するのは f(x) － r(x) と (Σa_i x^i) (Σq_i x^i) － Σp_i x^i です。
x = a が f(x) や r(x) の零点になる訳ではありません。

(2) そうかも知れません。
有理式の零点と、その分子の零点は、（有理式が既約である限り）同じですが。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
小生の分かりにくい表現の文章で、困らせてしまい申し訳有りません。
『x = a の近傍において f(x) を r(x) で近似するために、
両者のテーラー展開の係数を 低次（0～n+m 次）の項について
一致させる。それは、x = a を f(x) － r(x) の n+m 位の零点
とするのと同じことである。』
すごく分かりやすいです。
また、注意書きとして
『係数を一致させるのは f(x) と r(x) であり、
零点が一致するのは f(x) － r(x) と
(Σa_i x^i) (Σq_i x^i) － Σp_i x^i です。
x = a が f(x) や r(x) の零点になる訳ではありません。』
とご親切に付け加えていただいたので、さらに理解が深まりました。
ありがとうございます。
最後に有理式の基本事項なのかも知れませんが、小生『既約』の
意味について分かりません。
WEBで調べた結果、そのものはありませんでしたが、
『それ以上約分できない分数』との理解でよろしいでしょうか。
度々申し訳有りませんが、よろしくお願いいたします。

回答No.7

arrysthmia

その通り。
「既約」＝「既に約分されている」＝「それ以上約分できない」です。
既約分数なら、整数の除算の意味で、
既約有理式なら、多項式の除算の意味で、
それ以上約分できない分数を指します。

『有理式の零点と、その分子の零点は、（有理式が既約である限り）同じ』
と書いたのは、
(x-1)(x-2)/(x-3) の零点と (x-1)(x-2) の零点は x=1,2 で同じだが、
(x-1)(x-3)/(x-3) の零点と (x-1)(x-3) の零点は同じでない
という意図です。

蛇足ですが、上記で
『既約有理式なら、多項式の除算の意味で』と書いたのは、
(x-1)(2x-4)/(2x-6) の零点と (x-1)(x-2) の零点は同じで、
分子分母を2で割っても約分したことにはならない
という程のことです。

こちらこそ、勉強させていただきました。

お礼

ご回答ありがとうございます。
懇切丁寧なご説明をありがとうございます。
既約の意味も良く分かりました。
ありがとうございます。

回答No.5

arrysthmia

(1) No.1の参考URLの原文で、
『 したがって、q_1, q_2, …, q_m, p_0, p_1, …, p_n を
Σ{i=0,∞} a_i x^i　Σ{i=0,m} q_i x^i － Σ{i=0,n} p_i x^i
が次数 N 以下の項を持たないように選ぶことができる。』
の直後に、
『 表記を簡単にするために、p_n+1 = p_n+2 = … = p_N = 0 と
q_m+1 = q_m+2 = … = q_N = 0 とおく。』 とありますね。
ここで N は N = n+m ですが、
k＞N でも p_k = 0, q_k = 0 とおいているのでしょう。
そうすることで、x^k の係数 Σ a_i q_k-i － q_k の式で
Σ を行う i の範囲に関する記述を省略しているのだと思います。
まともに書くと、煩瑣な式になりますから。

(2) No.1の回答に挙げた Pade近似の「定義」を見て下さい。
r(x) は、x = a でのテーラー展開が、第 n+m 次項まで
f(x) のテーラー展開と一致するような有理式です。
(x - a)^k の係数は、{ r^(k)(a) }/k ! と { f^(k)(a) }/k ! ですね。
ここでは a = 0 の場合を説明しているので、r^(k)(0) = f^(k)(0)
が定義の条件を表しています。

(3) 例によって『 N+1個の零を 』が雑な書き方ですが、
『 これは f(x)－r(x) が x=0 で N+1 位の零点を持つことと同じ 』
と意味を汲むことはできるでしょう。
r(x) を n+m 次項まで f(x) と一致させるのですから、
f(x) - r(x) は、n+m 次項までは 0 となっているベキ級数です。
n+m+1 次項から始まるとも、n+m+1 位の零点を持つとも言えますね。

お礼

ご回答をありがとうございます。
懇切丁寧で分かりやすくご説明いただきありがとうございます。
ご回答頂いた(1)～(3)については理解できました。
ようやく、全体が分かってきました。
しかしながら、1点疑問があります。
おそらく最後の質問になると思いますのでよろしくお願いします。

(1) 『f(x)－r(x) が x=0 で N+1 個の零点をx=0で持つことと
　同じである。したがって、q_1, q_2, …, q_m, p_0, p_1, …, p_n
　をΣ{i=0,∞} a_i x^i　Σ{i=0,m} q_i x^i － Σ{i=0,n} p_i x^i
　が次数 N 以下の項を持たないように選ぶことができる。』
　と原文にありますが、小生の理解では、r^(k)(0) － f^(k)(0)＝0
　とは第 n+m 次項における係数を一致させることと理解しました。
　でないと、その次に係数の方程式に結びつかないのですがいかがで
　しょうか。
　「零点を一致させること」＝「係数を一致させること」
　でしょうか。

(2)いまさらですが、原文にある
　Σ{i=0,∞}aix^i×Σ{i=0,m}qix^i－Σ{i=0,n}pix^iｑ（ｘ）
　はf(x)－r(x)の右辺
　[Σ{i=0,∞}aix^i×Σ{i=0,m}qix^i－Σ{i=0,n}pix^i]/q(x)
　の誤記ではないでしょうか。

回答No.4

arrysthmia

説明の都合上、まづ(4)から。
そう考えた場合、直感的な表現『 f(x)－r(x)≒0 』の『 ≒0 』が、
数学的には何を意味しているのか？ が問題になります。
前述の「定義」では、それを、
「ベキ級数の 0 ～ n+m 次項がゼロになるように」と定めています。
ですから、この意味で
Σ{i=0,∞} a_i x^i　Σ{i=0,m} q_i x^i － Σ{i=0,n} p_i x^i≒0
と書くことはできますが、けっして
Σ{i=0,∞} a_i x^i　Σ{i=0,m} q_i x^i － Σ{i=0,n} p_i x^i＝0
ではありません。n+m+1 次以降の項がゼロになる保証はない…
というか、f(x) 自身が有理式でなければ、『 ＝0 』にはなりません。

ですから、(3)の Σ{i=0,k} a_i q_k-i － p_k＝0 は、
任意の k についてではなく、k=0,…,n+m についてのみ、要請されます。
だから n+m+1 連立方程式となるのです。

(1)で、何故
(Σ{i=0,∞}a_i x^i)×(Σ{i=0,m}q_i x^i)＝Σ{k=0,∞}(Σ{i=0,k} a_i q_k-i)x^k
となるのか？ については、左辺の『 × 』を分配法則で展開するときに、
Σ{i=0,∞}a_i x^i のどの項と Σ{i=0,m}q_i x^i のどの項を掛ければ
x^k の項が現れるか？ を考えれば、分かると思うのですが…

(2)は、(1)の結果を使って、
Σ{i=0,∞} a_i x^i　Σ{i=0,m} q_i x^i － Σ{i=0,n} p_i x^i が、
＝Σ{k=0,∞} (Σ{i=0,k} a_i q_k-i － p_k) x^k と変形できる
ということです。上述のように、この級数の 0 ～ n+m 次の係数が 0
になるような p(x), q(x) を探すのですから、(3)の方程式を解けばよい
ことになります。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
小生の質問(4)については了解しました。ありがとうございます。
しかしながら、相変わらず理解できない点があります。
お時間のあるときで結構ですのでよろしくお願いいたします。
(1)(Σ{i=0,∞}a_i x^i)×(Σ{i=0,m}q_i x^i)＝Σ{k=0,∞}(Σ{i=0,k} a_i q_k-i)x^kについて
分配法則を使うとのヒントを頂き次の計算を行ってみました。
(Σ{i=0,∞}a_i x^i)×(Σ{i=0,m}q_i x^i)＝(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+…)×(q_0+q_1 x+q_2 x^2+q_3 x^3+…+q_m x^m)
ここで係数はxの次数毎に次のようになります。
x^0：a_0
x^1：a_0 q_1+a_1 q_0
x^2：a_0 q_2+a_1 q_1+a_2 q_0
x^3：a_0 q_3+a_1 q_2+a_2 q_1+a_3 q_0
これをx^kまで行うと
x^k：Σ{i=0,k}a_i q_k-i
ここで質問です。
Σa_i x^iの範囲は0～∞、Σq_i x^iのiの範囲は0～mまでです。
kの範囲は0～n+mと定義されております。なのに
Σ{k=0,∞}(Σ{i=0,k} a_i q_k-i)x^kにおいては、内側のΣの範囲は、q_i x^i の級数の範囲0～mを超えてkと同じ0～n+mの範囲になっており、さらに外側のΣの範囲は無限大にまでなっています。
なぜでしょうか？

同様の疑問はΣ{i=0,n} p_i x^iについてもあり、混乱してます。

(2)原文において、「q_1,q_2,…,q_m,p_0,p_1,…p_nをそれぞれのk＝0,1,…,Nに対してf^(k)(0)－r^(k)(0)＝0が成立つように選んでやればよい。」とあります。なぜ、f^(k)(0)－r^(k)(0)＝0が成立つように選ぶとよいのでしょうか？

(3)原文において、上記(2)のつづきで、「これはf(x)－r(x)がN+1個の零をx＝0で持つことと同じである。」とありますがなぜ、f(x)－r(x)がN+1個の零をx＝0で持つことと同じなのでしょうか。

原文の意味を深く考えることもなく質問していた部分があり、申し訳ありません。ご存知でしたらご回答をお願いいたします。

回答No.3

arrysthmia

(1) 御指摘のとおり、q(x) は不要でしょう。
但し、その式は、等式ではありません。原文をよく見てください。
『 Σ{i=0,∞} a_i x^i　Σ{i=0,m} q_i x^i － Σ{i=0,n} p_i x^i ＝ 0 』
ではなく、
『 Σ{i=0,∞} a_i x^i　Σ{i=0,m} q_i x^i － Σ{i=0,n} p_i x^i
が次数 N 以下の項を持たないように 』
です。

(2) その為に、式の一部を展開整理して
(Σ a_i x^i) (Σ q_i x^i) ＝ Σ{k=0,∞} (Σ{i=0,k} a_i q_k-i) x^k だから、
後方の － Σ{i=0,n} p_i x^i と併せて、
『 すると x^k の係数は Σ{i=0,k} a_i q_k-i － q_k と表せる。』 のです。
『 Σ{i=0,k} a_i q_k-i ＝ q_k 』 という等式では、ありません。

(3) (4) も同様です。

(5) (6) は、p_k を移行するよりも、上記を踏まえて
　x^5: - 1/129 + (1/24) q_1 - (1/6) q_2 = 0
　x^4: 1/24 - (1/6) q_1 + (1/2) q_2 = 0
　x^3: - 1/6 + (1/2) q_1 - q_2 - p_3 = 0
　x^2: 1/2 - q_1 + q_2 - p_2 = 0
　x^1: - 1 + q_1 - p_1 = 0
　x^0: 1 - p_0 = 0
でしょうね。

(1) は、f(x) - r(x) = の右辺の分子を、そのまま抜き出したものです。

お礼

ご教示ありがとうございます。
ご回答いただいた中で、さらに分からない部分があり、四苦八苦しております。
小生の理解不足で申し訳有りませんが、お時間のあるときで結構ですので、以下の各項についてご教示いただきたくお願いいたします。
（質問毎にご回答いただく際、便利なよう番号を振ります）
(1)ご回答の(2)で
　(Σ{i=0,∞}a_i x^i) (Σ{i=0,m}q_i x^i) ＝ Σ{k=0,∞} (Σ{i=0,k} a_i q_k-i) x^k
　と展開できる計算過程がわかりません。
　お手数をおかけして申し訳ありませんが、導出過程をご教示いただきたくお願いします。
(2)やはりご回答の(2)において
　後方の － Σ{i=0,n} p_i x^i と併せて、
　『 すると x^k の係数は Σ{i=0,k} a_i q_k-i － p_k と表せる。』
　ここまで導出する過程が分かりません。

(3)例題の件については分かりました。しかし、例題では(右辺)＝０の等式になっているので結局、Σ{i=0,k}a_iq_k-i－p_k＝0という方程式が導かれるのではないでしょうか。

(4)上の質問とかぶるかもしれませんが、原文では、f(x)をr(x)で近似しています。よって小生が考えたのは、
f(x)－r(x)≒0となりますよね？
ここでf(x)＝Σ{i＝0,∞}a_ix^iだから原文の式を参照すると
f(x)－r(x)＝[Σ{i=0,∞} a_i x^i　Σ{i=0,m} q_i x^i － Σ{i=0,n} p_i x^i]/q(x)≒0
右辺の分子＝0とすると
Σ{i=0,∞} a_i x^i　Σ{i=0,m} q_i x^i － Σ{i=0,n} p_i x^i＝0
とならないと後の式の導出がどうしてもできないのではないかと疑問に思いました。この疑問点についてもご回答いただければ幸いです。

以上、何度も申し訳有りませんが、よろしくお願いいたします。

回答No.2

arrysthmia

質問の文中にある計算例は、
おそらく、e^(Lx)ではなく e^(-Lx)に対する
(1,1)次、(2,2)次、(3,3)次の各Pade近似だと思います。

補足に挙げておられるURLの計算例は、
e^(-γs)に対する (1,1)次と(2,2)次のPade近似で、
それと一致しています。

回答に挙げたURLの計算例は、
e^(-x)に対する (3,2)次のPade近似です。
次数が異なりますから、結果の有理式も異なります。

先に書いた「定義」を御参照下さい。
Pade近似の次数は、計算者が勝手に設定するものであり、
計算すると求まるものではありません。(伝聞)

お礼

ご連絡ありがとうございます。
ご指摘のとおりです。URLの例題の計算が出てきました。
またURLの中で以下の誤記があると思われますがいかがでしょうか。
小職の思い違いであれば申し訳有りませんが、以下のとおりであるとすれば、納得行きます。
(1)上から５つめの式
Σ{i=0,∞}aix^i×Σ{i=0,m}qix^i－Σ{i=0,n}pix^iｑ（ｘ）＝0
→Σ{i=0,∞}aix^i×Σ{i=0,m}qix^i－Σ{i=0,n}pix^i＝0（q(x)は誤記）
(2)上から６つ目の式
　(Σ{i=0,k}aiqk-i）－pk→(Σ{i=0,k}aiqk-i）＝pk
（この式がどうやって導かれたか分かりません。もしご存知でしたら、ご教示いただきたくお願いいたします。）
(3)上から７つ目の式
　→(2)同様に"－"は"＝"の誤記
(4)e^-xの例題の解答１番目の式
　→(2)と同様"－"は"＝"の誤記
(5)例題の解答のx^3の式
　-1/6+(1/2)q1-q2→-1/6+(1/2)q1-q2＝p3（＝p3が抜けている）
(6)例題の解答のx^2の式
　1/2－q1+q2→1/2－q1+q2=p2（＝p2が抜けている）
以上です。特に(1)の式がどうやって導かれたか、頭を捻ってみましたが、よく分かりません。
ご教示いただければ幸いです。

回答No.1

arrysthmia

ここの掲示板に質問を投稿しているということは、
google yahoo goo などの検索サイトを使って
「Pade 近似」を検索することもできるはずです。
随分たくさんヒットしますよ。

とりあえず、定義は、
「関数 f(x) の x=a における (m,n) 次の Pade近似」とは、
分子が m 次多項式、分母が n 次多項式の有理式で、
x=a におけるテーラー展開が n+m 次まで f(x) と一致するもの
のことだそうです。 (伝聞)

求め方は、参考URLにあります。
要は、(f のテーラー展開) (Pade近似の分母) - (Pade近似の分子)
という冪級数が、n+m 次項まで恒等 0 になるように係数合わせをする
のだそうです。 (伝聞)

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/numeanal/node51.html

お礼

ご回答ありがとうございます。
参考URLを拝見させていただきました。
数学的に論理だって説明されていて他のサイトよりわかりやすかったです。ありがとうございます。
ただし、参考URLに偶然にも小生が質問に示したe^-xの例が載っているのですが、結果が合いません。
なぜ異なる結果になるのかが分かりません。
他のサイトでもe^-xのパデ近似が掲載されていますが、ご教示いただいたサイトの結果と合いません。
どうしてかご存知であればご教示いただきたくよろしくお願いいたします。
参考URL：http://www2.denshi.numazu-ct.ac.jp/~youhei/seigyo/kadai4_6.htm