近似式

質問

物理なんかで使う近似式があるのですが、

（質問その１）いったいどこでこの知識を習得されているのでしょうか。

物理の参考書ではいきなり、近似式が出てきますので、不思議に思っております。
例えば、

ｘ《　Ｌ　　たぶんｘはＬに比べてはるかに小さい。（と認識していますが）

このサイトで

（１＋ｘ）＾ａ＝（１＋ａｘ）

だということが最近分かりました。これだけでも、感動しています。

（質問その２）それと、一般的によく使う近似式にはどんなのがあるのでしょうか。

宜しくお願いします。

回答No.1

noname#212313 · ベストアンサー

> （質問その１）いったいどこでこの知識を習得されているのでしょうか。

　数学です。物理は現実を扱うものの、全てを数学に頼っています。物理の言葉は数学、なんて言ったりしますよ。。といっても、数学でできることは膨大、広範で、物理はそのほんの一部を使わせて頂いています。

> （質問その２）それと、一般的によく使う近似式にはどんなのがあるのでしょうか。

　必要に応じてどんなものでも、ということになりますが、2項展開で1次の項まで使うのはご存知ですね（※(1+x)^a=1+ax）。同様な使い方で、フーリエ級数、テイラー展開（またはマクローリン展開）などもよく利用されます。

　どんな近似式が使われるかというのは大事ですが、利用の仕方、目的も大事です。

　一つは、実際の数値を計算するためです。ただ、今は関数電卓や表計算ソフトの普及により、近似式にするまでもなく計算できることが多くなりました。

　もう一つは、微分です。物理ではよく、微分して、微分方程式にして解くことが多いのですが、「微小項はゼロになる」ということをよく使います。微分でよく見るdxは無限小という、dx≪1なる代物ですが、(dx)^2、さらに(dx)^3となると、dxと比べて無視できるほど小さくなります。

　そこで、どうせ微分に持ち込むんだからと、2項展開などで1次の項まで採用して、2次以上の項を落としてしまう手法を用います。この場合、近似式なのに元となった式を厳密に解いているという状況にできます。不正確を承知で簡単に申せば、微分して積分すると、2次以上の項は0になるので近似式でよいということです。

　その他、解きにくいものを変数の範囲を絞って近似式にすることもあります。有名なのは振子の方程式があります。振り子の運動方程式を作ると、

　dx^2/dt^2=-mg・sin(x/L)　（Lは振子の糸の長さ）

という微分方程式式が得られます。しかし、初等的な微分方程式の解法では解けない形です。そこで、

　θ≪1のとき、sinθ＝θ

という近似式を用い、

　dx^2/dt^2=-mg・x/L)　（Lは振子の糸の長さ）

とすると、かなり容易く解けるようになります。解いた結果の一つが振子の等時性です。振子の周期は糸の長さだけに依存し、重りの質量はもちろん（上記の式の時点で質量の項は消えている）、振れる角度にも関係ないというものです。

　しかし、角度が小さいときの近似を用いているため、振子の振れる角度が大きくなるにしたがって、誤差が出ます。これは2次以上の微小項を落としたというわけではないので、近似式の誤差が微分方程式を解いた結果にも表れてしまうのです。

　とはいえ、近似せずに厳密に解いた場合でも、振れる角度の影響はさほど周期に大きくは影響しないので、近似式による解は、振子の重要な性質（等時性）をよく表す、重要なものになっています。

お礼

ありがとうございます。

フーリエ級数も近似式の一つだったのですね。ブルーバックスなんかで本がありますが、結構いろいろやんなきゃいけないみたいです。

必要性は別としましても面白そうですし一つずつやってみたいと思います。

たしかに、θ≪1のとき、sinθ＝θも近似式でした。

話は近似式とは離れますが、ガリレオ以来500年くらい経ちますが、
振り子の等時性も、これだけでもかなり苦労します。

回答No.5

178-tall

>（質問その１）いったいどこでこの知識を習得されているのでしょうか。

近似式の「習得」は、数式勘定の省力化を動機として、数学的思考を経てなされるのがフツウらしい。
例示なさった勘定は、
　(1+0.1)^3 = (1+0.1)(1+0.1)(1+0.1) = 1.21*1.1 = 1.331
を省力化した
　(1+0.1)^3 ≒ 1 + 3*0.1 = 1.3
ですネ。

>（質問その２）それと、一般的によく使う近似式にはどんなのがあるのでしょうか。

物理などでの「一般的な近似式」というと、いろいろありそう。

たとえば、
　所望の変数 (x) 範囲内 (x1 < x < x2) で、所望の値に近似する「関数 f(x)」
を求めるもの。
一例は、所望の周波数帯域を通過させ、それ以外の帯域を減衰させる「電気通信用フィルタ」の伝達関数。
通過帯域内の減衰量を「フラット特性」に「チェビシェフ近似」する手法の典型例です。

数学でいう「パデ近似」も、ある関数の値を限定つきの変数範囲にて有理式で近似するもの。応用分野で、利用されてる気配です、

お礼

ありがとうございます。近似式だけでも（必要性の問題は別としても）けっこういろいろあるようです。

今後、興味の湧いたものから少しずつやってみたいと思います。

回答No.4

chiha2525_

力作の回答があるのでＢＡはそちらで良いのですが、近似式を使うには実際にちょこっと計算してみて近似式との差がほとんどないことを確認するものです。

回答No.3

mdmp2

電子工学などを学んでいると必要に応じて使える近似式が出てくるものです。
関数を多項式で表すテーラー展開とかマクロリン展開を言う言葉を聞いたことがありますか？
多項式展開とは、f(x)をa0+a1x+a2x^2+a3x~3+ .....と表すことが出来るという仮定に基づいて、各項の定数（a0，a1,a2,a3,...)を求めたものです。
次に適切な資料がありますので、参考にしてください。
（１＋ｘ）＾ａ＝（１＋ａｘ）の例も示されています。
http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/math_for_phys/taylorexpansion050627a.pdf
近似式は多項式からの派生だけではありませんが、多くのものがこれで作られていると思います。
実験結果のグラフを数式化するのに、最小自乗法というのもあります。

お礼

ありがとうございます。コンピュータは人間と違い、出来ない計算がありますので、それで許容できる誤差の範囲内で別の計算方法でプログラムを組み目的の値を得る。いろいろ工夫があるのですね。

実際テーラー展開などは便利なものだと思います。

回答No.2

hue2011

近似式を、聖なる神の摂理だと思ったら間違いです。

これは人間の価値観の話ですから。
物理の話でも数学の話でもありません。

たとえば、気温を測るとき温度計を見ますね。
水銀柱の形だと、25度、26度、27度、という目盛のぴったりではなく中途に水銀面があるときどう読むか。
25.2度、程度に言う人は居るでしょう。
だけど、25.22456度だという人はいない。
よくよく虫眼鏡で拡大してみると細かく判断はつきますが、その場合はサブスケールとして何かをヨコに当てないとわかりません。

そこでこれを25度とする、というのが近似です。
神の話ではなく、人間の読み取り能力の問題です。
そのとき自分を正当化するための理屈として四捨五入というような言い訳を開発したわけです。

近似は、どの程度で無視できるかというのが問題です。
読み取り正答率99%なんていうとすれば、100個読むと1個ミスしていると言うことになります。
99.9%というと1000個のうち1個ミスです。
この9の数を数えるというのが精度という概念です。
99.9%ならスリーナインと呼びます。ナインの数をいくつ並べるかが精度になるわけです。

仮に生産工場が1万の製品を作るとしたらナインの数が4あると完璧だと言うことになります。
しかし、そういうわけにはいかず数%程度の事故品が生産されてしまいます。
このことを歩留りと言います。90%の信頼度があるというわけです。
90%信頼ができるならほぼ大丈夫だ、という感覚で捉えるなら問題になりませんし、2%の事故品が困ると騒ぐなら大問題です。

近似というのはそういうことです。相手の価値観の中で数字を正当化できるかということです。

Stirlingの公式みたいなものはほとんど数学の世界であって、∞という値に対してこちらの数値はないに等しいと考える方法です。

それに対し、電気回路なんかで使う近似はかなり粗い。
β+1を分母にしている数式があって、+1がなければ単純にβだけになるので通分できる、そうするとβという数式がなくなってしまう、なんていうときに近似するわけです。
このときβは幾つぐらいかと言うと3000ぐらいなんです。おそろしく粗い。
だから、1/3000と1/3001位の差が物理量にあらわれてくるわけです。

これが問題になるかというと、電圧や電流にほとんど表れない。

部品を組み合わせて回路を作りますから、その差どころではない揺れが発生したりするわけです。
1メートルの波が発生しているときに1ミリのずれなんて考えている暇はないのです。
そのための近似なんです。1ミリのずれなんて見ている暇があるなら波のほうを見ろ、なのです。
波を収めるためのバイアスをくみ上げるほうが重要であって、0.0003アンペアの電流の差なんて誰も見ちゃいねえや、です。

話を広げますよ。

これは人生の問題と同じことです。

AさんとBさんの間に20年間の間にいろいろなことがあった。二人ともそれを忘れちゃいない。
BさんとCさんの間にも埋められない感情的なことがある。
AさんCさんとたまたまお隣さんになった。

AさんはCさんにお醤油を借りに行きたいと思った。

このとき、AさんとBさんの間のわだかまりだとかBさんとCさんとの愛憎を考慮する必要があるか。

あるわけないんです。
Cさんが貸さないといったらそれでおしまい。貸してくれたらラッキーだけです。
その判断をする中で、Cさんはいままでの人生を考えないでもないしAさんも過去の記憶を思い出さないモノでもない。
でもそれはいま話している相手と関係ないでしょう。AさんとCさんとの間にはBさんの絡むことはゼロと近似していいのです。

何を目的としているか。
その目的に、今考えている近似の切り捨て方が齟齬を起こすかどうか。
それを考えているなら大概の近似はうまくいきます。
近似式だけでも岩波物理学公式で結構な数がありますけど、そんなものを全部覚えていてもあらたに考える必要は常に存在します。

ただし、その近似で切り捨てたことの影響範囲と影響効果の試算だけはしてみる価値はあります。
（質問その１）
自分で考えるのです。

（質問その２）
岩波物理学公式を読んでください。

お礼

ありがとうございます。それにしてもみなさん、努力されているのだなと思います。岩波物理学公式は難しそうですが、読める範囲でやってみたいと思います。