平方根を含む重積分

質問

先日も質問させて頂いたのですが、以下のような場合はどのようにして展開するのでしょうか？
∬√(x^2+y^2) dxdy
D={(x , y)| -a ≦x≦ a , -a ≦y≦ a }

積分範囲は上記したものとなり、図にすると正方形になります。円ではありません。
重ね重ね申し訳ありません。。。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

先の質問
http://okwave.jp/qa/q7787140.html
のA#1とA#2の直交座標で積分する方法と極座標変換して積分する方法の解答を回答した者です。
先の質問の10√3をaで置き換えるだけで今回の質問の積分になりますが、真似てできませんか？

とりあえず、先の質問のA#1の解答で10√3をaで置き換えた解答を回答します。

対称性より
　V=∬[D]√(x^2+y^2) dxdy,D={(x , y)| -a≦x≦a , -a≦y≦a, a>0}
　=8∬[D1](x^2+y^2)^(1/2) dxdy,D1={(x , y)| 0≦y≦x≦a, a>0 }
　=8∫[0,a]dx∫[0,x](x^2+y^2)^(1/2) dy (a>0)
y=xtで変数変換して
　=8∫[0,a]　dx ∫[0,1] x(1+t^2)^(1/2) xdt
　=8∫[0,a]　x^2 dx ∫[0,1] (1+t^2)^(1/2) dt
　=8[(1/3)a^3]∫[0,1] (1+t^2)^(1/2) dt
　=(8/3)a^3∫[0,1] (1+t^2)^(1/2) dt ...(★)
ここで
　I=∫(1+t^2)^(1/2) dt
部分積分して
　=t(1+t^2)^(1/2)-∫t(1/2)(2t)(1+t^2)^(-1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2)-∫t^2/(1+t^2)^(1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2)-∫ (1+t^2-1)/(1+t^2)^(1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2) -∫(1+t^2)/(1+t^2)^(1/2)dt+∫1/(1+t^2)^(1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2) -∫(1+t^2)^(1/2)dt +sinh^-1(t)
　=t(1+t^2)^(1/2) -I +sinh^-1(t)
2I=t(1+t^2)^(1/2) +sinh^-1(t)+2C
I=(1/2)t(1+t^2)^(1/2) +(1/2)sinh^-1(t)+C

(★)の定積分のに代入して
　V=(8/3)a^3 [(1/2)t(1+t^2)^(1/2) +(1/2)sinh^-1(t)][0,1]
　=(4/3)a^3 [√2 +sinh^-1(1)]
公式：sinh^-1(u)=ln(u+√(1+u^2))より
∴V=(4/3)a^3 {√2 +ln(1+√2)}

[注]極座標の場合も「先の質問のA#2の解答の10√3をaで置き換えるだけで」
今回の質問の解答が置き換えで簡単に積分できますのでやってみて下さい。
分からなければ、分からない箇所を質問してください。

お礼

なんとかできました。遅れましたが回答して頂きありがとうございました。もっと勉強しようと思います。

回答No.1

Ae610

∬√(x^2+y^2) dxdy
D={(x , y)| -a ≦x≦ a , -a ≦y≦ a }

積分範囲を直角二等辺三角形の領域で計算してそれを8倍する

x = rcosθ
y = rsinθ
・・・とおくと、直角二等辺三角形の領域(D[1/8]と表すとする)は元の領域Dの1/8となる
D[1/8] = {(r , θ)| 0 ≦r≦ a/cosθ , 0 ≦θ≦ π/4 }
∬√(x^2+y^2) dxdy
= 8・∫[0→π/4]dθ∫[0→a/cosθ]{r^2}dr
= 8・(a^3/3)・∫[0→π/4]{1/(cosθ)^3}dθ
・・・を計算すればよい。

計算してみると
∬√(x^2+y^2) dxdy = (4a^3/3)・(√2＋log(√2＋1))
（計算間違いしてるかも知れないので自分で確かめてみて・・！）

お礼

ありがとうございます。自分でも確認してみましたが少し理解できました。