数的処理の問題です

質問

ある容器に10kgの国産米が入っている。
ここからｘkg取り出して代わりにｘkgの輸入米を入れて混ぜる。

この混合米から、またｘkg取り出して再びｘkgの輸入米を入れたところ

国産米と輸入米の割合が16：9になった。

ｘkgはいくらか？

＜解説＞

濃度aで重さAのものから、重さｘを抜いて同じ重さの

別のものを戻すと濃度はa(1-x/A)となる。

条件より、元の重さ10kg、元の濃度1、ｘkgの国産米を抜いて

同じ重さの輸入米を戻す操作を２回繰り返した後の濃度が

16/16+9＝25/16であり～～。

で最終的に2kgになるのですが、この２回繰り返した後の濃度の

計算式の意味がよく分からないのですが、何故こうなるのでしょうか？

回答No.1

wild_kit · ベストアンサー

まず、濃度ａ＜％＞で重さＡ＜ｋｇ＞のものから、ｘ＜ｋｇ＞抜いて同じ重さの別のものを戻すと、濃度はａ（Ａ－ｘ）／Ａ＜％＞です。

まず１回目は、１００（１０－ｘ）／１０です。
２回目は、{１００（１０－ｘ）／１０}（１０－ｘ）／１０です。
２回目の式を整理すると、{１０（１０－ｘ）}（１０－ｘ）／１０　＝　１０（１０－ｘ）（１０－ｘ）／１０　＝　（１０－ｘ）＾２＜％＞
その結果１６：９になるのだから、濃度に直すと１００{１６／（１６＋９）}　＝　１００（１６／２５）　＝　６４％
つまり、（１０－ｘ）＾２　＝　６４
展開して１００－２０ｘ＋ｘ＾２　＝　６４
１００－６４－２０ｘ＋ｘ＾２＝ｘ＾２－２０ｘ＋３６＝（ｘ－２）（ｘ－１８）＝０
ｘ＝２または１８
ただし全体量が１０なので１８は不適
従ってｘ＝２＜ｋｇ＞となりました。

お礼

分かりました、ありがとうございます

回答No.2

biones

1回目の操作で輸入米の割合p_1はx/10
2回目の”輸入米の量”は x+(10-x)*p_1　より

p_2 = 9/25 = (x+(10-x)*(x/10))/10
整理すると
x^2-20x+36=0
x=18,2
18は条件を満たさないので2kg。

お礼

ありがとうございます