食塩水の問題について

質問

下記の問題について、解説を読んでも分からないところがあり、困っております。
どなたかご説明いただけませんでしょうか。

ある容器に濃度２５％の食塩水がＡリットル入っている。
今、この容器からコップ１杯の食塩水を取り出してコップ２杯の水を入れる。
さらにここからコップ２杯の食塩水を取り出して、コップ２杯の水を入れたところ、容器の中の食塩水の濃度は９％になった。
このとき、コップ１杯の容量はいくつか。

解説には以下のようにあります。
コップ１杯の容量をｘリットルとすると、コップ１杯の食塩水を取り出してコップ２杯の水を加えると、取り出したときの残り容量は（Ａ－ｘ）リットルで、水を加えた後の溶液の総量は（Ａ＋ｘ）リットルである。
このときの濃度は　２５／１００ * Ａ－ｘ／Ａ＋ｘ となる。
　⇒ まずここまでは理解できております。

さらに、コップ２杯の食塩水を取り出して、コップ２杯の水を加えたときの濃度は ２５／１００ * Ａ－ｘ／Ａ＋ｘ * Ａ－ｘ／Ａ＋ｘ となる。
　⇒ これが分かりません。
　　 コップ２杯の食塩水を取り出して、コップ２杯の水を加えたのが、
　　 どうして Ａ－ｘ／Ａ＋ｘ となるのでしょうか。
　　 これはコップ１杯の食塩水を取り出してコップ２杯の水を加えた
　　 ときと同じではないでしょうか？

これが９％だから、
２５／１００ * Ａ－ｘ／Ａ＋ｘ * Ａ－ｘ／Ａ＋ｘ ＝ ９／１００
となり、答え：４分の１リットルとなるそうです。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

#1のものです。
一箇所書き間違いをしていました。修正します。

>2回目の操作では容器の中の食塩水の量は次のように変化しています。
>A-x(1回目終了時の量)→A-x(2x抜き取り)→A+x(2x水を追加)
2段目は
A+x(1回目終了時の量)→A-x(2x抜き取り)→A+x(2x水を追加)
が正しいです。

お礼

なるほど、割合として考えるのですね。
丁寧なご説明ありがとうございました。
また、括弧の件についても、ご指摘いただきありがとうございます。
以後注意いたします。

※PCを修理に出していたためお礼が遅くなってしまいました。
　申し訳ありませんでした。

回答No.1

rnakamra

分数式を書く場合はできる限り分母・分子に括弧をつけてください。
A-x/A+xと書くと、A-(x/A)+xとしか解釈できません。
(/は割り算を表すので、+よりも演算の優先順位が高いので先に計算するのです)
(A-x)/(A+x)　と書くように心がけてください。

では本題に入ります。
1回目の操作では容器の中の食塩水の量は次のように変化しています。
A→A-x(x抜き取り)→A+x(2x水を追加)

2回目の操作では容器の中の食塩水の量は次のように変化しています。
A-x(1回目終了時の量)→A-x(2x抜き取り)→A+x(2x水を追加)

つまり、1回目も2回目も水を足す前の量と足した後の量は同じなのです。
ですから、1回目の時と2回目の時の濃度の変化割合は同じになります。