硬貨を使った期待値の問題

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=379954
に似たような問題がありましたが、、

【問題】500円硬貨1枚と100円硬貨1枚を同時に投げて、表の出た硬貨をもらう。もらえる金額の期待値は？

【解答】
0*(1/4) + 500*(1/4) + 100*(1/4) + 600*(1/4) = 300　ということで期待値300円。

質問事項ですが、上記の問題の解答で以下の答え方は正解と言えるでしょうか？

500*(1/2) + 100*(1/2) = 300円

よろしくお願いいたします。

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

この問題は、URL先の過去質問の問題とは異なります。つまり、500円硬貨の話と100円硬貨の話は無関係で、

(1)Ａさんは、500円硬貨を投げて表が出たらもらえます。
(2)Ｂさんは、100円硬貨を投げて表が出たらもらえます。
ＡさんとＢさんがもらえる金額の合計の期待値は？

としても全く同じです。

一般に、確率変数ＸとＹがあるとき、Ｘ＋Ｙの期待値はＸの期待値とＹの期待値の和です（ＸとＹが独立である必要はありません。ただし、この問題では独立です）

ですから、
500*(1/2) + 100*(1/2) = 300円
で正しいのですが、いきなりこの式を書くのでなく、
「求める期待値は、500円硬貨を投げて得られる金額の期待値と、100円硬貨を投げて得られる金額の期待値の和だから」といった説明を加えないと不正解となる恐れがあります。

これが、

500円硬貨1枚と100円硬貨1枚を同時に投げて、表の出た硬貨をもらう。ただし、両方が表のときは、500円硬貨をもらう。

のように両者が絡む場合は、期待値の和になりません。

お礼

>500*(1/2) + 100*(1/2) = 300円
で正しいのですが、いきなりこの式を書くのでなく、
「求める期待値は、500円硬貨を投げて得られる金額の期待値と、100円硬貨を投げて得られる金額の期待値の和だから」といった説明を加えないと不正解となる恐れがあります。

なるほど！そうですね　最初にことわっておけば500*(1/2) + 100*(1/2) = 300円でもいいんですね。
とてもよくわかりました。ありがとうございます。

回答No.3

noname#75810

No2さんの意見の補足です。
このように書くと、「期待値の和が和の期待値と同値であること」
の証明を求められると、ちょっとめんどくさいです。
そこで、「２つの硬貨を同時に投げようが１分間間隔をあけて
投げようが獲得金額に差があるはずがない」という
常識的な判断を前面に押し出した後、
別々に投げた場合の期待値として、500*(1/2) + 100*(1/2) = 300円
とした方が、数学的議論を省きたい人向きです。

回答No.1

coldplay

期待値とは各確率変数に対応した確率をかけ、その総和をとったもので定義されます。
kojimaro1126さんの答えでは500円もらえる確率と100円もらえる確率がともに50％であるように感じられてしまいます。
出てくる答えは同じですが、定義に従った解答を身につけましょう。

お礼

おっしゃるとおりです。定義どおりの解答がベストですよね。

でも500*(1/2) + 100*(1/2) = 300円とテストで答えたらどうなるのんでしょうかね。