Cauchyの判定法(数列の収束の条件)

質問

解析概論を読み始めたのですが、はやくもCauchyの判定法で躓きました。

Cauchyの条件
「任意のε>0に対応して番号n0が定まり、p>n0 , q>n0 のとき |A_p-A_q|<ε」
を仮定して数列{A_n}が収束することを証明する過程で、{A_n}が有界であることは
理解できましたが、次のステップが理解できません。

n番目の項から始まる列、A_n,A_(n+1),・・・の上限と下限をL_n , M_nとする。
仮定によりε>0にn0が対応して、p>n0 , q>n0 のときA_p-A_q<ε。よってn>n0とすれば
『上限の意味により任意のq≧nに対してL_n-A_q≦ε』←この部分がわからないんです！！！

L_nは上限なのでA_p≦L_nなので、A_p-A_q≦L_n-A_q ですが、ここからなぜ
不等式L_n-A_q≦εが言えるのでしょうか？

どなたかご教授願います。

回答No.2

noname#96505 · ベストアンサー

これ難しいね。私も得意でないけど、分かるところだけ思いついたので。任意のε＞0、あるp≧nに対しては(L_n-ε)≦A_p≦L_n、すなわち
任意のq≧nをとって、両辺でA_qを引くとL_n-A_q≦A_p-A_q＋ε・・・(1)
ここで仮定「任意のp>n0 , 任意のq>n0 のときA_p-A_q<ε」より(1)は
L_n-A_q≦A_p-A_q＋ε＜2ε
任意の2ε=ε´＞0、任意のq≧nに対しn>n0とすれば、L_n-A_q＜ε´が明らかに成立したと言える。
ところで、今A_p＞A_qとして、任意のp,q＞nに対してA_p-A_q≦L_n-A_qはA_p-A_q＜L_n-A_qであれば、上記の成立してたことすなわち
(1)が言っていることに矛盾するから、A_p-A_q＝L_n-A_qである。
以上によりL_n-A_q＜ε´はL_n-A_q≦ε´も言えて
質問者が質問していた命題は成立する。あんまり得意でないので説明も下手で申し訳ないですね。

回答No.1

noname#96505

例えばさあ、A_p-A_q≧0で考えてみるよ。
ここでいう上限というのは分かりやすく言うと(この場合、q、n＞n0)
L_nよりもほんの少し小さい値(L_n-ε)とL_nの間に(L_n-ε)≦A_p≦L_nを満たすA_pがあるということなんだ。このεは任意の正の実数を指す。
そうすると(L_n-ε)≦A_pを書きかえるとL_n-A_q≦εが成立する。
分かりにくい説明ですみません。これでも私は極限という意味がそれでもまだ完全に理解しておらず、分からなかったら不等式で考える方に向いてしまいます。例えば任意のε＞0とあるN0が存在してという部分を逆に考えてもいいだろうとか、勘違いもしてしまいます。やっぱり定義というのはいかに大事かね

補足

ご回答ありがとうございます。

>>(L_n-ε)≦A_p≦L_nを満たすA_pがある
これだとすべてのp≧nに対して成立するとは言えませんよね。
本の証明だと『任意の』q≧nに対してL_n-A_q≦εとなっていますが。