解説していただけませんか？その１

質問

この問題の解説をお願いします。
１０の４乗のすべての正の約数の積を求めよ。
答えは、１０の５０乗になるそうです。
でも、そこまでの過程がわかりません。よろしく、お願いします。

回答No.1

yasei · ベストアンサー

10のn乗を10^nと表しています。

10^4=2^4×5^4
約数は因数を任意に掛け合わせたものです。
よって約数は5×5=25個あります。

今問われていることは約数すべての積であるので
(2^0×5^0)×(2^1×5^0)×(2^0×5^1)×…
となり、これを計算すると
2^｛5×(0+1+2+3+4)｝×5^｛5×(0+1+2+3+4)｝=2^50×5^50=10^50
となります。

補足

早速のご回答、ありがとうございます。
少し不明な点があるのですが、
2^｛5×(0+1+2+3+4)｝×5^｛5×(0+1+2+3+4)｝=2^50×5^50=10^50
の部分で、なぜ指数にそれぞれ５をかけているのでしょうか？

回答No.3

yasei

NO.1です。

10^4の約数で5^0を含むのは
2^0×5^0、2^1×5^0、2^2×5^0、2^3×5^0、2^4×5^0
の５つあります。
同様に書き下していけば5^1、5^2、5^3、5^4も５つずつあらわれます。
同時に2^nも５つずつあらわれることがわかります。
それらをすべて掛け合わせると先日の回答のようになります。

回答No.2

R_Earl

素因数分解をすることで、約数を全て求めることができます
(参考URLの説明が分かりやすいと思います)。
それを利用して10の4乗の約数を全て求めてください。
後はそれを全てかけるだけです。

約数を全てかける時は、約数を素因数分解した形のままかけると良いと思います。
そうすると計算が楽です。

参考URL：

http://www3.ocn.ne.jp/~fukiyo/math-obe/sosuu.htm