一次分数変換

質問

円{z∈C;|z|=2}・・・(1) を円{z∈C;|z+1|=1}に移し、-2,0を0,iｎ移す一次分数変換を求めよ。という問題なのですが、f(z)=(az+b)/(cz+d)=w とおいてw=・・・の形にして(1)に代入、-2,0もf(z)に代入して0,1と等しくなるという式を立てたのですが、cが求められません・・・一体どうすればいいでしょうか？

回答No.4

yumisamisiidesu · ベストアンサー

w=(az+b)/(cz+d)とおくと
|w+1|=|(az+b)/(cz+d)+1|=1
よって
|az+b+cz+d|=|cz+d|　(1)
z=2cos(θ)+2isin(θ)としてこれを(1)に代入しても解けるかどうかよく分りません.とにかくNo2の補足に読む限りf(0)=iになってしまうと|f(0)+1|≠1なのでおかしいと思います.

回答No.3

yumisamisiidesu

-2は(1)の円に入りますが0.1は(2)の円に入らないと思います.

回答No.2

pocopeco

NO.1です。
途中まででもあなたの計算過程がわかると
アドバイスしやすいのでお願いします。

補足

f(-2)=(-2a+b)/(-2c+d)=0⇔b=2a (1)
f(0)=b/d=i⇔b=di　(2)
w=(az+b)/(cz+d)をzで解くと、
z=(-dw+b)/(cw-a)・・・★。
|z|^2=2^2 zの共役複素数をz~とすると
z*z~=4　★を代入
{(-dw+b)/(cw-a)}{(-dw~+b)/(cw~-a)}=4
展開整理すると、
|w-{(4ac-bd)/(4c^2-d^2)}|^2=(4a^2d^2+2b^2d^2+4b^2c^2-8abcd)/(d^2-4c^2)
これが|z+1|=1に相当するので、
{(4ac-bd)/(4c^2-d^2)}=-1　(3),
(4a^2d^2+2b^2d^2+4b^2c^2-8abcd)/(d^2-4c^2)=1　(4)
以上(1)(2)(3)(4)から一次分数変換を求めようとしたのですがうまくいきません。よろしくお願いします。

回答No.1

pocopeco

cが決まらないというより、a,b,dがcの式になったがその先を決定できないということでしょうか？

このときc は何でもいいです。
例えば
c=2 だと(3z+1)/(2z+5) の分数が、
c=4 では、(6z+2)/(4z+10) になりますよね？

約分すれば結局同じ分数になります。
(az+b)/(cz+d)のa,b,dに代入したら　cで約分できませんか？

補足

返信ありがとうございます。
>cが決まらないというより、a,b,dがcの式になったがその先を決定できないということでしょうか？
説明不足で申し訳ないのですが、cを他の文字で表現できず約分できなくて困っています。ご助力のほどよろしくお願いします。