完全加法族とσ加法族

質問

S:集合
Σ:Sの部分集合の集まり

(1)F,G∈Σ⇒F∪G∈Σ
という完全加法族の定義があります。

同じ様にσ加法族の定義から
(2)F1,・・・Fn∈Σ　(n∈N) ⇒∪Fn∈Σ　というのがわかります。

(2)⇒(1)は成り立つのですが
(1)⇒(2)は成り立つとは限りません

(1)⇒(2)が成り立たない反例を探しています。

教えてください

回答No.1

adinat

まず言葉の訂正。(1)の性質は完全加法性とはいいません。有限加法性といいます。したがって(1)を満たし，Sを含み，補集合を取る操作について閉じた部分集合族を有限加法族，または単に加法族といいます。完全加法性という用語は，可算無限個の合併を含むという性質を指します。つまりF1,…,Fn,…∈Σのとき，∪Fn（可算無限和）∈Σを満たすとき，完全加法的というわけです。

質問者さまが書かれている(2)の条件はn個の合併がまたΣに入る，と書かれているように見えますが，可算無限個の意味でよいですよね。もしn個であるなら，その場合は(1)と(2)の条件は明らかに同値です。

さて，有限個の合併で閉じても，可算個の合併で閉じない，というのはいくらでも例が作れます。たとえばSをユークリッド空間とし，ΣをSのコンパクト集合全体とすると，可算合併はもはやコンパクトでないので反例です。Σを閉集合全体としても似たような反例になります。ほかに，R^nの長方形から生成される有限加法族を考えると，これはσ加法族にならない，などというのも有名な話ですね。証明は考えられてみるとよいと思います。ほかにもたとえばFubiniの定理との絡みでよく話題になりますが、ふたつのσ加法族の直積も有限加法族にしかなりません。したがって直積σ加法族は、通常の直積をとったあとに，それを含む最小のσ加法族に拡張しなくては完全加法性が回復しません。

お礼

大変失礼しました。思い違いをしていたようです。
詳しい回答をどうもありがとうございました