高校数学 単位円で、θ＞90°のとき・・・

質問

私は今高一です。
数学でわからない問題があるのですが、いろいろネットで調べてもいい解説が見つかりません。
どなたかわかりやすい説明お願いします。

今三角比の勉強をしていて、単位円の最初のところまでは理解できました。が、180°＞θ＞90°というのがどうもわかりません
それって最早直角三角形の角じゃないですよね？
それでどうして0°＜θ＜90°のときと同じようにサインやコサインが求まるのでしょうか？
サイン、コサインがマイナスになるのも計算上ではわかりますが何か納得できません・・・
誰か助けてください。

回答No.2

R_Earl

> 今三角比の勉強をしていて、単位円の最初のところまでは理解できました。が、180°＞θ＞90°というのがどうもわかりません
> それって最早直角三角形の角じゃないですよね？

そうです。

「直角三角形を使ったサイン、コサイン」では0°から90°までしか考えられません。
そこで90°以上の角度でも対応できるように、「新しいサインとコサイン」を作ったんです。
それが「円を使ったサイン、コサイン」です。

なので「直角三角形を使ったサイン、コサイン」と
「円を使ったサイン、コサイン」は、似ていますが別物だと考えてください。

> それでどうして0°＜θ＜90°のときと同じようにサインやコサインが求まるのでしょうか？

直角三角形を使った三角比の場合、
サインは「斜辺の長さ1の直角三角形の、高さ(縦方向の長さ)」、
コサインは「斜辺の長さ1の直角三角形の、底辺の長さ(横方向の長さ)」を表しています。
この「高さ」をy座標(縦方向)に、「底辺の長さ」をx座標(横方向)に対応させたのが
「円を使ったサイン、コサイン」です。

こういう風にちゃんと対応関係ができているので、
同じような求め方ができる場合があります。

> サイン、コサインがマイナスになるのも計算上ではわかりますが何か納得できません・・・

マイナスになるのに納得できないのは、結局90°以上のサイン、コサインを
直角三角形の辺の長さで考えているからだと思います。
先ほども述べましたが、90°以上のサイン、コサインは「直角三角形では考えられない」んです。
なので90°以上のサイン、コサインを考える際は「直角三角形を使った考え方」を破棄して下さい。
90°以上のサイン、コサインは「xy座標上の円を使った考え方」で対応するんです。

例えば90°以上180°以下でコサインがマイナスになるのは、
「90°以上180°以下では、x座標がマイナスだからコサインはマイナスになる」
となります。
ここに「直角三角形の考え方」は全くありませんよね。

回答No.1

SilverThaw

>180°＞θ＞90°というのがどうもわかりません
>サイン、コサインがマイナスになるのも計算上ではわかりますが何か納得できません・・・
ある一点（単位円の中心）を平面上の原点(X=0、Y=0)として二軸に対しての角度から求めるから。
だから理屈的にはθは
0°＜θ＜90°
90°＜θ＜180°
180°＜θ＜270°
270°＜θ＜360°
の四つをとる。

http://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sankakukansuunoshoho.html
の真ん中あたり。