数学IAの問題

質問

一辺の長さが４ｃｍの正四面体ＯＡＢＣについて辺ＡＢを１：３の比に分ける点をＤとする。
∠ＯＤＣ＝θとする。次の問いに答えよ。

・ＯＤの長さ
・コサインθの値
・△ＯＤＣの面積

サインθ＋コサインθ=三分の一のとき、次の値を求めよ。ただし、０°≦θ≦１８０°

・サインθの３乗＋コサインθの３乗
・サインθ－コサインθ

この二つの問題がわかりません；；；
解説交えて教えてくださると助かります！！
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.3

ferien · ベストアンサー

一辺の長さが４ｃｍの正四面体ＯＡＢＣについて辺ＡＢを１：３の比に分ける点をＤとする。
＞∠ＯＤＣ＝θとする。次の問いに答えよ。

図を描いて考えてみて下さい。
＞・ＯＤの長さ
△ＯＡＤを考えると、ＯＡ＝４，ＡＤ＝１，角ＯＡＤ＝６０度だから、余弦定理より
ＯＤ^2＝４^2＋１^2－２×４×１×cos６０度
　　　＝１６＋１－８×(1/2)
　　　＝１３　　よって、ＯＤ＝√１３

＞・コサインθの値
△ＣＡＤを考えると、ＣＡ＝４，ＡＤ＝１，角ＣＡＤ＝６０度だから、
余弦定理より（ＯＤと同様にして）ＣＤ＝√１３
△ＯＤＣで、ＯＤ＝ＣＤ＝√１３，ＯＣ＝４，∠ＯＤＣ＝θだから、余弦定理より
cosθ＝｛（√１３）^2＋（√１３）^2－４^2｝／２×√１３×√１３
＝１０／２６
＝５／１３

＞・△ＯＤＣの面積
sinθ＝√１－（5/13)^2＝１２／１３
面積の公式より、
（１／２）×√１３×√１３×（１２／１３）＝６

＞サインθ＋コサインθ=三分の一のとき、次の値を求めよ。ただし、０°≦θ≦１８０°
sinθ＋cosθ＝1/3　……（１）より、両辺を２乗して、
（sinθ＋cosθ）^2
＝sin^2θ＋２sinθcosθ＋cos^2θ
＝１＋２sinθcosθ
＝1/9　より、sinθcosθ＝－４／９　……（２）
０°≦θ≦１８０°だから、（２）よりsinθ＞０，cosθ＜０　……（３）

＞・サインθの３乗＋コサインθの３乗
因数分解すると
sin^3θ＋cos^3θ＝（sinθ＋cosθ）（sin^2θ－sinθcosθ＋cos^2θ）
だから、これに（１）（２）を代入する。

＞・サインθ－コサインθ
（３）より、sinθ－cosθ＞０
２乗すると、
（sinθ－cosθ）^2＝sin^2θ－２sinθcosθ＋cos^2θ
（２）を代入して値を求め、sinθ－cosθ＞０から、
答えを求める。

でどうでしょうか？計算してみて下さい。

お礼

大変詳しくありがとうございます！！
解くことできました＾＾

回答No.4

info22_

後半)

(1)
sinθ+cosθ=1/3
２乗して
sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθ=1/9
1+2sinθcosθ=1/9
sinθcosθ=-4/9
これを使って
sin^3θ+cos^3θ=(sinθ+cosθ){(sinθ+cosθ)^2-3sinθcosθ}
=(1/3){(1/9)-3(-4/9)}
=13/27

(2)
sinθ+cosθ=1/3, sinθcosθ=-4/9
0°≦θ≦180°より
sinθ>0,cosθ<0
∴90°<θ<180°
∴sinθ-cosθ>0

sinθ-cosθ=√{(sinθ-cosθ)^2}=√{(sinθ+cosθ)^2-4sinθcosθ}
=√{(1/9)-4(-4/9)}
=√{(1/9)+(16/9)}
=(√17)/3

お礼

ありがとうございます！！

回答No.2

info22_

前半）

(1)OD
AD=AB*AD/AB=4*(1/4)=1
△OADに余弦定理を適用して
OD^2=OA^2+AD^2-2OA*ADcos60°=16+1-2*4*1*(1/2)=13
∴OD=√13

(2)cosθ
△OCDは二等辺三角形なので
　CD=OD=√13
△OCDに余弦定理を適用して
　cosθ=(OD^2+CD^2-OC^2)/(2OD*CD)=(13+13-16)/(2*13)=5/13

(3)△ODCの面積S
S=(1/2)OD*CDsinθ=(1/2)*13*√{1-cos^2(θ)}=(13/2)√{1-(5/13)^2}
=(1/2)√(169-25)=(1/2)√144=6

回答No.1

gohtraw

ＯＤの長さ
　三角形ＯＤＢは、ＯＢ＝４、ＢＤ＝３、∠ＯＢＤ＝π／３の三角形です。これに余弦定理を使えばＯＤの長さが判ります。

ｃｏｓΘ
　三角形ＯＤＣは三辺の長さが４、ＯＤおよびＣＤが上記で求めた長さの三角形です。これに余弦定理を使えばｃｏｓΘの値が判ります。

△ＯＤＣの面積
　三辺の長さが判っているので、ヘロンの公式を使うか、上記のｃｏｓΘの値からｓｉｎΘの値を出し、
ＯＤ＊ＣＤ＊ｓｉｎΘ／２とすれば面積が出ます。

ｓｉｎΘ＝ｓ、ｃｏｓΘ＝ｃとします。
　ｓ＾３＋ｃ＾３＝（ｓ＋ｃ）（ｓ＾２－ｓｃ＋ｃ＾２）・・・（あ）
と因数分解します。ここで
ｓ＾２＋ｃ＾２＝１　であり、
（ｓ＋ｃ）＾２＝ｓ＾２＋２ｓｃ＋ｃ＾２＝１／９
ですから
ｓｃ＝－４／９
です。よって
ｓ＾２－ｓｃ＋ｃ＾２＝１＋４／９＝１３／９
なので、（あ）の値は
１３／９＊１／３＝１３／２７
です。

（ｓ－ｃ）＾２＝ｓ＾２－２ｓｃ＋ｃ＾２
　　　　　　　＝１－２＊（－４／９）
　　　　　　　＝１７／９
よって　ｓ－ｃ＝±√１７／３
ですが、上記でｓｃ＜０、与えられたΘの範囲でｓ＞＝０なのでｃ＜０です。したがって
ｓ－ｃ＞ｓ＋ｃでなくてはならないので
ｓ－ｃ＝√１７／３
となります。

お礼

ありがとうございます！！