積分が分りません

質問

∫(0→4)√(1+9/4y)dyを求めようと解いてみたら
[9/4*3/2(1+9/4y](0→4)になったのですが
答えでは[4/9*3/2(1+9/4y](0→4)となっていました。
どうしてでしょうか？

教えてください。

回答No.1

Knotopolog · ベストアンサー

与式の∫(0→4)√(1＋9/4y)dy は，∫(0→4)√(1＋(9/4)y)dy のことであると解釈します．

∫(0→4)√(1＋(9/4)y)dy を求めるために，

I＝∫√(1＋(9/4)y)dy

の不定積分を計算します．まず，

u＝1＋(9/4)y

と置きます．この両辺の微分をとると

du＝(9/4)dy

変形すると

dy＝(4/9) du

この式を I＝∫√(1＋(9/4)y)dy に用いると，

I＝(4/9)∫√(u) du

これを積分すると

I＝(4/9)(2/3)u^(3/2)

となります．u を y にもどすと

I＝(4/9)(2/3)(1＋(9/4)y)^(3/2)

したがって，求める定積分は

∫(0→4)√(1＋(9/4)y)dy＝[(4/9)(2/3)(1＋(9/4)y)^(3/2)](0→4)

となり，質問に書いてある答えの [4/9*3/2(1+9/4y](0→4) にはなりません．
あなたか私のどちらかが間違っていますね？
因みに，与式：∫(0→4)√(1+9/4y)dy が ∫(0→4)√(1+9/(4y))dy の場合は，
もっと複雑な計算になります．

お礼

間違っていた箇所が分ってよかったです。
ありがとうございました。
丁寧なご説明で助かりました。

補足

すみませんでした。
∫(0→4)√(1＋(9/4)y)dyです。
ありがとうございます。