２重積分についてです

質問

∫[0→1]｛∫[√x→1] f(y)dy｝dx ＝ ∫[0→1]y^2*f(y)dy

を証明しなさい

という問題なのですが解法がわかりません＞＜

どなたか御教授お願いします

回答No.2

info22_

#1さんが言われている積分領域がよく把握されていない気がします。
y軸 と y=√x と y=1 で囲まれた領域（添付図参照）が積分領域です（☆）。

∫[0→1]｛∫[√x→1] f(y)dy｝dx ＝ ∫[0→1]y^2*f(y)dy
の左辺の逐次積分の中の積分「∫[√x→1] f(y)dy」は図の黄色の幅dx縦に細長い長方形の棒の面積を表し、それをx方向に[0→1]まで積分したのが左辺です。結果として積分領域を全部カバーします。

一方右辺の積分
∫[0→1]y^2*f(y)dy
は幅dy、長さ[0→y^2]の水色の横に細長い長方形の棒の領域の積分
y^2*f(y)=∫[0→y^2] f(y)dx
を表しています。この細長い長方形の棒の積分をy方向に[0→1]まで積分したのが右辺の積分です。
同じ関数f(y)を同じ（☆の）積分領域について積分領域をくまなく積分していますので
同じ積分領域を黄色の棒または水色の棒の総和をとって積分しているだけですから、左辺と右辺は等しくなります。

回答No.1

Ae610

∫[0→1]｛∫[√x→1] f(y)dy｝dx ＝ ∫[0→1]{∫[0,y^2]f(y)dx}dy
・・・で解らんか！？
(積分領域すら図示して描く事が出来ない・・・と言う事かいな！？)