馬鹿な質問かもしれませんが…

質問

スピン1/2の粒子a,bがあり、その時の角運動量演算子をs_a,s_bとする。またそれぞれのｚ成分の固有状態を|1/2>、|-1/2>とする。
二つの粒子の状態が|1/2>a、|1/2>b のとき|1/2,1/2>と定義するとき、
|1/2,1/2>が(s_a)^2＋(s_b)^2の固有状態になっていることを示すにはどうしたらいいですか？全く分からないです。教えてください。

回答No.1

Akira_Oji · ベストアンサー

それぞれのスピン演算子はそれぞれの状態に作用するので、
２つのスピン1/2の粒子a,bのうち,aに対して

(s_a)^2|1/2>a =(s_a)（s_a＋１）|1/2>a =(1/2)(3/2)|1/2>a =(3/4)|1/2>a

ｂに対しても
(s_b)^2|1/2>b＝(s_b)（s_b＋１）|1/2>b= =(1/2)(3/2)|1/2>b =(3/4)|1/2>b

であれば、定義より、
|1/2,1/2>＝|1/2>a　＊　|1/2>b

だから、それぞれのスピン演算子はそれぞれの状態に作用するので、
｛(s_a)^2＋(s_b)^2｝|1/2,1/2>
＝｛(s_a)^2＋(s_b)^2｝|1/2>a　＊　|1/2>b
＝(s_a)^2|1/2>a　＊　|1/2>b + (s_b)^2|1/2>a　＊　|1/2>b
＝{(s_a)^2|1/2>a}　＊　|1/2>b + |1/2>a　＊{(s_b)^2　|1/2>b }
＝{(3/4)|1/2>a}　＊　|1/2>b + |1/2>a　＊{(3/4)|1/2>b }
＝(3/4)|1/2>a ＊　|1/2>b + (3/4)|1/2>a　＊|1/2>b

＝{(3/4)+(3/4)}|1/2>a　＊　|1/2>b
＝(3/2)|1/2>a　＊　|1/2>b

もとの記法に戻して、
＝(3/2)|1/2,1/2>

即ち、
｛(s_a)^2＋(s_b)^2｝|1/2,1/2>＝(3/2)|1/2,1/2>
となっているわけではないですか？

お礼

とても親切にありがとうございました。