量子力学の全スピン角運動量演算子の問題

質問

量子力学の全スピン角運動量演算子の問題です。
固有値を用いるようですが、回答の道筋がよく分かりません。
分かる方がいましたら、なるべくゆっくりご回答いただければと思います。

参考になるサイトがありましたら、URLを載せていただけても嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

tetra_o

すいません，#1で[S_a・S_a,S・S]=[S_a・S_a,S_a・S_a+S_b・S_b]=…=0としていましたが，S・S=S_a・S_a+2S_a・S_b+S_b・S_bですのでこれは間違いです。正しくは，

[S_a・S_a,S・S]
=[S_a・S_a,S_a・S_a+2S_a・S_b+S_b・S_b]
=[S_a・S_a,S_a・S_a]+2[S_a・S_a,S_a・S_b]+[S_a・S_a,S_b・S_b]
=0+2*0+0
=0

ということだと思います。[S_a・S_a,S_a・S_b]=0については，S_a=(S_ax,S_ay,S_az),S_b=(S_bx,S_by,S_bz)として代入すれば示せます。こんな間違いをしてしまいお恥ずかしい…

回答No.1

tetra_o

ベクトルを示す「→」は省略します。

S・S|ψ>
=(S_a+S_b)・(S_a+S_b)|ψ>
=(S_a・S_a+2S_a・S_b+S_b・S_b)|ψ>

ここで，スピン角運動量演算子についての固有方程式S_a・S_a |α> = (1/2)(1/2+1)h^2|α>= 3/4*h^2|α> (|α>を|β>としてもよい)，および[S_a・S_a,S・S](=[S_a・S_a,S_a・S_a+S_b・S_b]=[S_a・S_a,S_a・S_a]+[S_a・S_a,S_b・S_b]=0+0)=0からS_a・S_aとS・Sには同時固有関数が存在し，|ψ>はその同時固有関数のひとつとなり次式を満たす。

　S_a・S_a|ψ>=3/4*h^2|ψ>

また，[S_a・S_a,S_b・S_b]=0より，|ψ>はS_b・S_bの固有関数でもあるから，

　S_b・S_b|ψ>=3/4*h^2|ψ>

も同時に成立する。従って，

(S_a・S_a+2S_a・S_b+S_b・S_b)|ψ>
=(3/2*h^2+2S_a・S_b)|ψ>

すなわち，

S・S|ψ>=(3/2*h^2+2S_a・S_b)|ψ>

ここで問題より，S・S|ψ>=2*h^2|ψ>となることを用いれば，

(3/2*h^2+2S_a・S_b)|ψ>=2*h^2|ψ>

解いて，

S_a・S_b|ψ>=1/4*h^2|ψ>

となる。

多分これで合ってると思うのですが，間違っていたらすいません。ポイントはスピン角運動量演算子についての固有方程式ですかね。