二項係数を用いたテイラー展開

質問

実数αに対し
（1+x）^α=Σ【n=0→∞】
（α）
（n）*
x^n
（|x|<1）

ここで、一般化された二項係数は以下で定義されている。
（α）
（n）
=｛α（α-1）（α-2）…（α-n+1）｝/n!

こういった公式があるのですが、これは具体的にどのように用いればいいのかわからないので、この公式をつかった、適当な具体例を見せていただけると嬉しいです。

回答No.1

proto · ベストアンサー

例えば、√(1+x)=(1+x)^(1/2)を展開すると
　　√(1+x) = 1 +(1/2)x -(1/8)x^2 +(1/16)x^3 -(5/128)x^4 +...
となる。
具体例ってこんな感じでいいんでしょうか？

ちなみにαが自然数のときにこの方法で(1+x)^αを展開すると、結果は二項定理で展開した場合と同じになる。
その意味でこれは二項定理の拡張と見なす事が出来る。

さらに蛇足だが、「二項係数を用いたテイラー展開」ではなく「テイラー展開を用いて再定義された二項係数」が正しいかと。