線形代数Iについて

質問

一次方程式Ａｘ＝ｂが異なる２つの解をもつならば、この方程式は無数の解をもつことを示せ。という問題なのですが、これは２つの解の差は、同次方程式Ａｘ＝０になればいいということですか？
書き出しはなんとなく分かりますが、ゴールまでの道順が分かりません。教えていただければ幸いです。

回答No.3

settheory · ベストアンサー

違う方針かもしれませんが。x_0とx_1を、Ax=bの異なる二つの解とします。tを[0,1]の中の実数とします。（1-t）x_0 + tx_1　（x_0とx_1を結ぶ線をt:1-tに分ける点）が行列の線形性より、Ax=bの解となることがすぐわかると思います。これなら解が無限個あることを直に言うことになります。与えられた解を使って、新しい解をつくれないかを考える方が素直のように思えます。

回答No.2

noname#101087

>Ａｘ＝ｂが異なる２つの解をもつならば、.......

A を正方行列に限らなければ、
　AX1 = b, かつ AX2 = b
したがって、
　A(X1) - A(X2) = A(X1-X2) =0

A が正則なら、X1-X2 = 0, つまり解 X は一意的。
そうでなければ、X1-X2 は部分空間、つまり解は無限個数。

…かな？

回答No.1

koko_u_u

>これは２つの解の差は、同次方程式Ａｘ＝０になればいいということですか？

それは、単にあなたが「異なる 2つの解を持つならば」の次の瞬間に思いついた事柄でしょう？

「方程式は無数の解をもつこと」を示して下さい。１行でおしまいです。

お礼

申し訳ありませんが、「２つの解の差は、同次方程式Ａｘ＝０になればいい」ということは的を射ています。