漸化式と級数の和の公式

質問

今、100m隔てた2台の自転車がある。2人の少年AとBが、速度10m／sでお互いの向きに走り出す。（加速度は無視できる。）ちょうどこのとき1匹の蝿が速度20m／sで、Aの自転車から飛び立ってBの自転車に向かう。そして、Bの自転車にたどり着くと急激に方向を変えて、Aの自転車に向かう。蝿は以下同様のことを繰り返す。では、AとBが正面衝突するまでに蝿は何メートル飛んだことになるか？最終結果を解釈しなさい。

よろしくお願いします。

回答No.3

Kules · ベストアンサー

Kulesです。
＞8行目のTn+1-Tn＝(Bn-An)/30について
＞30というのは何の数字なんですか？
説明不足でしたね～すみませぬm(__)m
今回の問題は旅人算をAと蝿、Bと蝿について何度も何度も解いてやれば答が出る問題です。
旅人算の解き方(本当は考え方を言ったほうがいいんでしょうが)は、
・両者が反対方向に進んでいる時、出会うまでにかかる時間は
(両者の間の距離)/(両者の速さの和)
・両者が同じ方向に進んでいる時、出会うまでにかかる時間は
(両者の間の距離)/(両者の速さの差)
です。
今回は蝿の速さが20m/s、AまたはBの速さが10m/sですので分母の30は
(蝿の速さ)＋(A,Bの速さ)のこととなります。

回答No.2

Kules

計算から最終結果を考える…ですか。すいません、式は立てられたのですがちゃんと計算はしていません。指針だけ書くので計算は自分でやってください。出なかったら補足にクレームを書いてくだされば結構なので。
・AもしくはBと蝿がn回目に出会った時の時刻をTnとします。(初期位置はT0です)
・時刻TnにおけるA,B,蝿の位置をそれぞれAn,Bn,Hnとします。
・Aの初期位置を０とし、座標はAからBに向かう向きを正とします。

・まずAn=10Tn,Bn=100-10Tnは即座に出てきます。
・次にTnに関してですが、n回目に蝿とAまたはBが出会ってから次にもう一方と会うまでの時間Tn+1-Tnは、AnとBnの間の距離に依存し、常にBn＞Anなので
Tn+1-Tn＝(Bn-An)/30
となり、(単純な旅人算です)An,BnはTnで表せるのでTnに関する隣接２項間漸化式ができるのでTnをnの式で表すことができます。
・次にHnですが、蝿の速度はnが偶数か奇数かで符号が変わるので、
Hn+1=Hn+20(Tn+1-Tn) (nが偶数の時)
Hn-20(Tn+1-Tn) (nが奇数の時)
となります。また、Hnはnが偶数の時An、奇数の時Bnに一致します。
上の時点でTnがnの式で表されているので、An,Bnもnの式で表せ、よってHnもnの式で表せます。
・AとBが正面衝突することを考えるにはBn-An=0となる時を考えればよく、ちゃんと計算はしていませんが、それはn→∞の時のはずです。
したがって蝿が何メートル飛んだかを考えるにはHn+1-Hnを足し合わせてやればよく、
lim(n→∞)Σ(k=0→n)(Hn+1-Hn)
で求まるはずです。(別に部分和出してから無限大に飛ばさなくてもいいのですが、部分和出した方が楽なんでこの形で書いています。ちなみに先ほど書いたようにｎが偶数か奇数かで式が違う可能性がありますので、その場合は同じ値に収束することを示す必要があります)
・最後に結論を考える時はn→∞の時のTnの値を考えればよく、この値を使ってHn=Tn*20という結果になれば私がNo.1で書いたような考察をすることができると思います。

長文失礼しました。参考になれば幸いです。

補足

何度もすいません。
8行目のTn+1-Tn＝(Bn-An)/30について
30というのは何の数字なんですか？

回答No.1

Kules

解釈…ですか？ということは
Aと蝿がn回目に出会った時の少年A、B、蝿のいる位置をそれぞれAn,Bn,Hn,として漸化式を解き、その極限を求めるということでしょうか？
そうでないのならこの問題は漸化式の問題ではないです。
答えだけ知りたいのなら、要は蝿が「何秒飛んだか」を考えればいいだけです。
それとも、上の極限の計算から下に書いたようなことを解釈せよ、との問題でしょうか？
補足お願いします。

補足

説明不足ですいません。
計算をして、その計算から最終結果を考えるという問題です。