上昇中の気球からの小石を投げ上げる物理問題の考え方を教えてください。

質問

40歳台のサラリーマンです。先日、高校生の息子と悩んでいたベクトルの質問をさせてもらったところ多くの的確なアドバイスをいただき助かりました。ありがとうございました。もうひとつ別の問題についてアドバイスをどうかお願いいたします。
（問題）
10ｍ/ｓで鉛直上昇中の気球から小石Ａ・Ｂを同時に投げ出した。気球に対する速さはいづれも16ｍ/ｓであるが、気球から見てＡは上方に、Ｂは水平に飛び出していった。そして10秒後にＡは地面に落下した。重力加速度は10ｍ/毎秒毎秒とし、また空気の抵抗は無視し、小石は気球には当たらないとする。
　(1)小石を投げ出したときの気球の高さは何ｍか
　(2)小石Ｂは地面から何ｍの高さまで達するか
　(3)小石Ｂの落下点は小石Ａの落下点から何ｍ離れているか
という問題です。以下息子と二人で考えた結果です。
(1)鉛直下方を正とし、ｈ＝初速×時間＋１/２×ｇ×時間の２乗から、
　－26×10＋１/２×10×100＝240ｍ
(2)Ｂが飛び出すときの、上方向への速さは気球の上昇速度である10ｍ/ｓ、
　水平方向へは16ｍ/ｓであるから、三平方の定理によりＢの初速は斜め上　方向に２√89ｍ/ｓ、一方、Ｂが最高点に達したときの速度は０だから　　ｖの2乗 － 初速の2乗 ＝ ２×ｇ×ｈの式から　０－３５６＝２×－10　×ｈよりｈ＝17.8ｍ、(1)よりＢを投げ出した高さが240ｍだからＢの最高　点は17.8＋240＝257.8ｍ
(3)は全くわかりません。
(1)(2)(3)それぞれどう考え、正答は何なのかどうぞ教えてください。

回答No.2

noname#40706 · ベストアンサー

１：　考え方、答え　どちらもＯＫですね！

２：
この問いの場合は、垂直方向の速さだけ考えてください。＜Ｂの初速は斜め上　方向に２√89ｍ/ｓ＞のようにむずかしく考えない方がいいです。垂直方向、水平方向、別々に考えます。

小石Ｂは上向きに１０ｍ／ｓで上がり始めましたので（地面から見てです）、

＜ｖの2乗 － 初速の2乗 ＝ ２×ｇ×ｈの式から　０－３５６＝２×－10　×ｈよりｈ＝17.8ｍ＞

ではなく、ｖ＝１０で計算してください。すると、ｈ＝５となります。

こたえ　２４０＋５＝２４５ｍ　

３：これは、まず、Ｂが地面に落ちるまでの時間を求めます。Ｂは上向きに１０の速さで、飛び出しています。（気球が１０で上昇してますので）

２４０＝－１０×ｔ＋１／２×１０×ｔ×ｔ

ｔについての２次方程式ですが、これをとくと

ｔ＝８となります。

つまり、８秒後に地面に着きます。

Ｂはその間、ずーっと水平方向に１６ｍ／ｓに進んでいます。これがポイント、

ですから、Ｂは１６×８＝１２８ｍ離れたところに着地します。

こたえ　１２８ｍ離れている。

ところで、

＜＜一方、Ｂが最高点に達したときの速度は０だから＞＞と考えられたようですね。この考えは非常に大切な考え方で、こういう問題を解くときのポイントです。ただ、この場合は、水平方向の速さは０ではありませんので、斜めの初速度（２√８９）が０になったわけではないのです。

お礼

急な出張が入りまして、お礼が遅れましたことをまずお詫びします。そして丁寧な解説を本当にありがとうございました。
鉛直方向、水平方向それぞれ別個に考えなければという発想がありませんでした。単純に考えればいいんですね。
鉛直方向、水平方向それぞれに考えれば３の問題の考え方も理解できました。ありがとうございました。

回答No.3

Mr_Holland

＃1です。
　丁寧なお礼の言葉、ありがとうございます。

＞ところでひとつだけ解らないのは、２の問題の解説で鉛直方向への初速10ｍ/ｓ　加速度－10ｍ/ｓ^2だから最高点ｙＢ＝10ｔ－５ｔ^2＋240＝５ｔ（２－ｔ）＋240よりｔ＝1秒のときに最高点となることは解りましたが、ｔ＝1秒でｙＢ＝245ｍとなるのではないでしょうか？
気球が245ｍの高さの時点で水平方向に投げ出したのに最高点が235ｍ？？

　ご指摘の通り、計算を間違っていました。済みません。
　お詫びして訂正いたします。

＞　　ｙB＝－1/2 ｇｔ^2 ＋ Ｖ0ｔ ＋ ｈ ＝ －5ｔ^2 ＋ 10ｔ ＋ 240
＞　　　　＝ －5(t－1)^2 ＋ 235　・・・・・・・・　☆
　　(正)　＝ －5(t－1)^2 ＋ 245　・・・・・・・・　☆

＞したがって、ｙBの最大値は、ｔ＝１[s]のとき、235［m]であるので、小石Ｂの地面から最も高い高さは235［m]になる。
　　(正)　　　ｙBの最大値は、ｔ＝１[s]のとき、245［m]であるので、小石Ｂの地面から最も高い高さは245［m]になる。

＞よって、（答え）235［m]
　　(正)　　　　　245 [m]

お礼

すっきりしました。
どうも有り難うございました。

回答No.1

Mr_Holland

doradora04さんの考察を拝見しましたところ、座標系で混乱が見受けられましたので、先ずはきちっと座標をおくことから始めていきましょう（（1）の答えは合っているようです）。

ａ）座標を設置
　気球は常に上昇し地面に対し相対運動を行っています。
　いま、問題は地面から見たときの答え(地面からの高さなど)を求めていますので、気球ではなく地面に対して座標を置くことにします。
　先ず、垂直方向には、地面からの高さを求める問題が多いので、上向きを＋ｙ、地面をｙ＝０としたｙ軸をおくことにします。
　次に、水平方向ですが、(3)で小石Ｂの水平移動距離を求めることから、気球の真下をｘ＝０、小石Ｂの投出し方向を＋ｘとしたｘ軸をおくことにします。

ｂ）文字をおく
　問題を解くに当って紛らわしい変数が出てくるので、ここで整理しておきます。
　　ｈ：　小石を投げ出したときの気球の高さ［m]
　　ＶA： 小石Ａの＋ｙ方向の初速（＝10）[m/s]
　　ＶB： 小石Ｂの＋ｘ方向の初速（＝10）[m/s]
　　Ｖ0： 気球の＋ｙ方向の上昇速度（＝16）[m/s]　
　　ｔA： 小石Ａを投出してから地面に落下するまでに要した時間（＝10）［s］
　　ｔB： 小石Ｂを投出してから地面に落下するまでに要した時間［s］
　　Ｌ：　小石Ｂの落下点から気球の真下までの距離［m]
　　ｇ：　重力加速度（＝10）［m/s^2］

ｃ）問題を解く
　これで準備ができましたので、（1）から順に解いていくことにします。
（1）　小石Ａ、Ｂを投出した瞬間をｔ＝０とすると、その時の小石Ａの地面からの高さはｈ、初速は＋ＶA＋Ｖ0、加速度は－ｇの等価速度運動を行うので、ｔ＝ｔAで地面に落下することから、
　　０＝－1/2 ｇ(ｔA)^2　＋（ＶA＋Ｖ0）ｔA　＋　ｈ
　∴ｈ＝1/2 ｇ(ｔA)^2 －(ＶA＋Ｖ0)ｔA　＝500－260＝240［m]
よって、（答え）240［m]

（2）小石Ｂの描く軌跡のｙ成分だけに注目し、それをｙBとおくと、
ｔ＝０での小石Ｂの地面からの高さはｈ、初速は＋Ｖ0、加速度は－ｇ等価速度運動を行うので、
　　ｙB＝－1/2 ｇｔ^2 ＋ Ｖ0ｔ ＋ ｈ ＝ －5ｔ^2 ＋ 10ｔ ＋ 240
　　　　＝ －5(t－1)^2 ＋ 235　・・・・・・・・　☆
したがって、ｙBの最大値は、ｔ＝１[s]のとき、235［m]であるので、小石Ｂの地面から最も高い高さは235［m]になる。
よって、（答え）235［m]
（初速に小石Ｂの初速度方向の速さをとってしまったことが異なります。）

（3）先ず、小石Ｂの落下時間ｔBを求める。
小石Ｂのｙ成分の軌跡の式☆から落下時間はｙB＝０としたときの式☆の正の解である。したがって、
　　０＝ －5(t－1)^2 ＋ 235　＝ －5(t－8)(t＋6)
　∴ｔ＝－6、＋8
ｔBは正なので、ｔB＝8 [s]である。

次に、小石Ｂの水平方向について考える。
ｔ＝０のとき、小石Ｂの水平成分は、ｘ＝０、初速＋ＶBの等速直線運動を行うので、
　　Ｌ ＝ＶB ｔB ＝ 16×8 ＝ 128［m]
一方、気球と小石Ａは鉛直線上での運動に終始しているので、小石Ａの落下地点は気球の真下である。
したがって、小石Ａの落下点から小石Ｂの落下点までの距離はＬそのものである。
よって、（答え）128［m]

（（3）の問いは、小石Ｂの落下時間を求めてから、その時間内で水平に移動した距離を求める手順で解いていきます。）

お礼

急な出張が入りまして、お礼が送れた事をまずお詫びします。そして丁寧な解説をどうもありがとうございました。
座標軸をはっきりさせる、そして問題文中の数字の大きさや方向、変位などをはっきりさせることが重要だとわかりました。物理がよくわかる人ほどこうした相関関係の捉え方が迅速で正確なんでしょうね。
ところでひとつだけ解らないのは、２の問題の解説で鉛直方向への初速10ｍ/ｓ　加速度－10ｍ/ｓ^2だから最高点ｙＢ＝10ｔ－５ｔ^2＋240＝５ｔ（２－ｔ）＋240よりｔ＝1秒のときに最高点となることは解りましたが、ｔ＝1秒でｙＢ＝245ｍとなるのではないでしょうか？
気球が245ｍの高さの時点で水平方向に投げ出したのに最高点が235ｍ？？