確率の問題

質問

授業で確率をとっていなかったのでどのように考えていいか、本を借りて読んでみましたがよくわかりませんでした。
問題は以下のようなものです。

（偏ったコインで公正なコイントスを行ってください）
あなたは表が出る確率がq（≠1/2）のコインをもっています。
その確率が1/2になるようなイベントを定義できますか？

（ダブルトス法）
1．コインを2回トスする
2．もしその結果が(H,H)　(T,T)であれば（H:表、T:裏）、1に戻る
3．もし結果が(H,T)であればH、そうでなければTとする

（課題）
1．ダブルトス法における確率空間を示しなさい
2．ダブルトス法における確率の結果をH:1/2、T:1/2になることを確認しなさい
3．2の結果を得るのに必要なコイントスの回数の予測値を示しなさい
4．（選択問題）より効果的な方法を提案しなさい

という問題なのですが。
問題が英文なので、若干日本語がぎこちなくてすみません。

各イベントをe1:(H,H),e2:(T,T),e3:(H,T),e4:(T,H)とし
表（H）の出る確率をq、裏（T）の出る確率を(1-q)とすると、各イベントの確率は
e1:q^2
e2:(1-q)^2
e3,e4:q(1-q)
になりますよね？

e1,e2は再びコイントスに戻るので、n回目にe3,e4のいずれかのイベントが起こるとする。
（流れ）
e1→e3,e4：q^n(1-q)・・・e1をn-1回繰り返す
e2→e3,e4：q(1-q)^n・・・e2をn-1回繰り返す

これらをマクローリン展開して、導こうと思ったのですが、うまくまとまりません。このやり方は間違っているのでしょうか？
ヒントもしくは参考になる書籍があれば教えてください。

回答No.1

rabbit_cat

２．
とりあえず、一番真面目にやるなら、
Ｈの確率＝P(e3) + P(e1)×P(e3) + P(e2)×P(e3) + P(e1)×P(e1)×P(e3) + P(e1)×P(e2)×P(e3) + P(e2)×P(e1)×P(e3) + P(e2)×P(e2)×P(e3) + …
＝P(e3)×Σ_[n=0～∞] { P(e1) + P(e2) }^n
＝P(e3)×1/{1- P(e1) - P(e2)}　　… 等比級数の無限和の公式
＝P(e3)/{1- P(e1) - P(e2)}
です。

３もまあ、同じような方法でもできます。

ただ、普通は、もっと簡単に方程式をたてて求めます。ただ、その場合には、本当に、確率や平均が存在するのか、を別に考えないといけませんが。

お礼

そうですねー。
幾通りもあるので混乱してしまいます。
ありがとうございました。

補足

1はどのような感じになるのでしょうか？