スターリングの公式の証明

質問

f(x)≡∫exp[-t]{(t/x)+1}^xdtとする【積分範囲は0≦t＜∞】。
x→∞で、f(x)÷x→0を示せ。
以上

回答よろしくお願いします。

回答No.1

gef00675

回答がつかないようなので、参考までに。
積分変数をu=t/xに置き換えると
f(x)/x = 1/x ∫exp[-t]{(t/x)+1}^x dt
=∫exp[-xu]{u+1}^x du【積分範囲は0≦u＜∞】。
x→∞とすると、被積分関数は０に収束するので、もし、
lim f(x)/x
= lim∫exp[-xu]{u+1}^x du
=∫lim exp[-xu]{u+1}^x du
とすることができたなら、証明が終わります。limと∫の順序が交換できることを示すところがポイントになると思います。
手元の本を見たら、ディニの定理を使っていました。
「関数の列g_n(u)が、有界閉集合上の、
(1) 各点において、nと共に単調減少して、
(2) ある関数g(u)に収束し、（この場合、g(u)=0）
(3) g(u)が連続関数であれば、
g_n(u)の収束は、一様収束である。」
(1),(2),(3)を確かめることは容易なので、あとは、ディニの定理からexp[-xu]{u+1}^xが0に一様収束することを利用して、この広義積分においてlim∫=∫limとできることを示せばよいようです。

お礼

さんきゅー