1回捻った紙テープの輪を縦に切るとどうなる？

質問

小学生の子供が最近通っている科学クラブから難しい宿題をもらってきました。普通に輪に繋げた紙テープを縦に切ったらどうなる？これは当然半分の細さの2本の輪になります。しかし、1回捻ったテープを縦に切るとどうなる？
答えは半分の細さで1本の輪になります（質問1）。さらにその1本の輪をまた縦に半分にしたらどうなるでしょう？
（質問2）さらに理論的にX回縦に切っていったらどうなるのでしょう？（質問3）
子供の質問は1番のなぜ？と質問2の答えまでですが、これが数学で言う何の定理で、どうしてそうなるものか教えていただければ幸いです。よろしくお願いします。
　　　　　　　　　　　　　　　　悩めるパパより

回答No.10

otsuge

大好きだけど間違えるんですよね。でも実験間違えちゃいけませんね。

裏表のつながった輪を作る半回転のひねりを、1回と数えます。カットは、仮に二つに分かれてしまった輪を裂く場合も、何世代目という意味で1回に数えます。ここまではルールの定義です。

1回ひねりの輪（メビウスの輪）を裂くと、なぜか４回ひねり、つまり裏表が2面に分かれた輪となります。
偶数ひねりの輪であるこれを裂くと、二つに分かれます。ひねりは４回（ここが間違えていたところ）、裏表のある輪になります。
以下何回繰り返しても４回ひねりの輪に分かれるだけです。
メビウスの輪をN=0とすると、このときだけ1回ひねりです。

輪の個数は、N＝0からずっと、2のN-1乗。（ここも訂正）
ここでひねりのない普通の輪を考えると、ひねりは常に0。輪の個数は2のN乗。

最初のひねりが、トポロジーぽい怪現象を起こしてるんですね。

あっ！　質問は定理の名前でしたね。勝手にのめりこんでごめん！

参考URL：

#8はまちがいです

回答No.9

basil

下の私の回答で、

＃５は＃６よりも新しい回答です。

＃６で回答した内容に誤りがありましたので
訂正して再投稿しましたが、
元のファームを引用したせいで＃６より前に入ってしまいました。
　＃６はマチガイ
　＃５が正解です。

回答No.7

otsuge

私もこういう問題大好きです。（得意とは言ってない）
メビウスの輪を作るひねりを、1回と数えます。カットは、仮に二つの輪に分かれてしまった場合に、この二つを裂く場合でも、何世代目という意味で1回に数えます。ここまではルールの定義です。

1回ひねりの輪（メビウスの輪）を裂くと、なぜか４回ひねり、つまり裏表が2面に分かれた輪となります。
偶数ひねりの輪であるこれを裂くと、二つに分かれますが、ひねりは２回、裏表のある輪になります。
次に裂くと、偶数ひねりなので、２つに。ひねりは４回に。
これ以上は実験する必要ないと思います。
メビウスの輪をN=0とすると。Nが奇数で4回ひねり、偶数で2回ひねりの繰り返し。
輪の個数は、N≦1で1個、N＞2では2のN-1乗ですね。
最初にひねっていない輪だと、ひねりは常に0。輪の個数は2のN乗。
最初のひねりが、トポロジーぽい怪現象を起こしてるんですね。
原始的ですけど解答です。
（なお、N=2程度でさえ、鋏が入らないほどリボンが互いに巻きつきます。実験では一旦切り口を作って、巻きついた紙は取り除きました。）（最初のひねり１の輪と０の輪は、統一的に扱えるように思います。ひねり2や4の輪がそうなのですから。ひねり3とか5とかが出現する可能性にも興味があります。輪の個数は、割合すっきりしていますね）

参考URL：

やっぱり自信ない

回答No.5

bandit

１回ひねって、半分に切ると、一本のねじれた輪になりますよね？。で、このねじれはどうなっているか、を見と、４回ひねった状態になっていると思います。

実際にやってみました。
２回ひねったものを切ると、２回ひねったものの輪が２つつながった輪になります。３回ひねったものを切ると､・・・・実際やりましたが､メビウスの輪の中にメビウスの輪が出来る感じで、１つの輪には違いないのですが､ひねらずに輪を作ったときの状態にはなりませんでした。
つまり、何回ひねった常態かわかりませんでした。

自分なりに考えてみました。
一本のテープの４つの角をテープの始点側Ａ１，Ａ２テープの終点側Ｂ１，Ｂ２としたとき、
まず、そのまま輪にしたとき（Ａ１とＢ１、Ａ２とＢ２をつなげる）、切ると、始点と終点が結んだまま、切るので，２つは切り離されるんですよね？。テープをたどるとＡ１→Ａ２＝Ａ１、Ｂ１→Ｂ２＝Ｂ１という事になります。

２回ひねったものについては（Ａ１とＢ１、Ａ２とＢ２をつなげる）、下手なりにも公式みたいなものは、証明できないです。ですけど、２回ひねって切ったら､２つ連なった２回ひねった輪になったので､遇数回ひねったときは、同じ物が２つ連なると予想されます。

１回ひねったものは（Ａ１とＢ２、Ａ２とＢ１をつなげる）、テープの裏表が逆につながるから、テープをたどるとＡ１→Ａ２＝Ｂ１→Ｂ２＝Ａ１というふうに、つながりをたどると一つの輪になります。それを、さらに切ると､同じ４回転の輪が複雑に２つ連なっていました。

４回ひねりということもあり偶数回ひねったときの上の法則は成り立っていたようです。

ｙｏｄａさんが言ったように､切り続けても、細い一本の輪になりませんでした。僕も、そう習ってきたような覚えがあったのですが・・・。なぜでしょう！？。（＾＾；

結果的に､奇数回ひねったときは､はっきりとはわからず、偶数回ひねったときは、同じ物が２つ連なると言うことがわかりました。

回答No.8

basil

すみません！！
得意と豪語しながら間違えました！！
非常にはずかしいです。
訂正させてください。

使用する紙の帯はもちろん平らですから
平行な２本の縁がありますよね。
この帯を丸く輪にして繋ぐ際に
“１ヶ所だけ”
１８０度回転して繋ぐということは
片方の縁が反対側の縁と繋がるわけですよね。

　　┬───────────────────┬
え裏│あ　　　　　　　　　　　　　　　　　い│う裏
　　┼　─　─　─　─　─　─　─　─　─　┼
　い│う　　　　　　　　　　　　　　　　　え│あ
　　┴───────────────────┴
　　　　　　　　　　　　↓
　　┬───────────────────┬
え裏│あ　　　　　　　　　　　　　　　　　い│う裏
　　┴───────────────────┴
　　┬───────────────────┬
　い│う裏　　　　　　　　　　　　　　　え裏│あ
　　┴───────────────────┴

このことをふまえて...

このワッカをはさみで半分に切ることにします。
ワッカにする前の帯の状態で考えると
その帯を縦に２つに割ったことと一緒ですよね。

でき上がる２本の細い帯、
その“おしり”は
もう一方の帯の“あたま”と
繋がるようになっているわけです。

ここまでで、（質問1）の説明となります。

また、（質問1）によって半分に切られたワッカには
接着面が“２ヶ所”あります。
一つの接着面は180度ねじれているわけですから、
２ヶ所で３６０度。
つまり元に戻ってしまいます。
ですので、切った輪は２つの別々な輪になってしまいます。
　　┬───────┬───────┬
え２│あ１　　　い１│う２　　　え２│あ１
　　┼　─　─　─　┼　─　─　─　┼
え１│あ２　　　い２│う１　　　え１│あ２
　　┴───────┴───────┴
　　　　　　　　　　↓
　　┬───────┬───────┬
え２│あ１　　　い１│う２　　　え２│あ１
　　┴───────┴───────┴
　　┬───────┬───────┬
え１│あ２　　　い２│う１　　　え１│あ２
　　┴───────┴───────┴

ここまでが（質問2）の説明です。

つまり、帯のつなぎ目はすべて反転しているわけで、
この［つなぎ目の数］が
　偶数なら出来た輪は分裂し、
　奇数なら繋がる。
ということになります。

しかし、一度つなぎ目の数が偶数になってしまうと
輪が分裂してしまうので
出来た輪のつなぎ目の数が変わりません。

ということで、
２回目以降、切っても輪は分裂してしまい、
つながりません。

回答No.6

basil

来ましたね～！わたしの超・得意分野です。
と言っても、素人ですが。。。

使用する紙の帯はもちろん平らですから
平行な２本の縁がありますよね。
この帯を丸く輪にして繋ぐ際に
“１ヶ所だけ”
１８０度回転して繋ぐということは
片方の縁が反対側の縁と繋がるわけですよね。

　　┬───────────────────┬
え裏│あ　　　　　　　　　　　　　　　　　い│う裏
　　┼　─　─　─　─　─　─　─　─　─　┼
　い│う　　　　　　　　　　　　　　　　　え│あ
　　┴───────────────────┴
　　　　　　　　　　　　↓
　　┬───────────────────┬
え裏│あ　　　　　　　　　　　　　　　　　い│う裏
　　┴───────────────────┴
　　┬───────────────────┬
　い│う裏　　　　　　　　　　　　　　　え裏│あ
　　┴───────────────────┴

このことをふまえて...

このワッカをはさみで半分に切ることにします。
ワッカにする前の帯の状態で考えると
その帯を縦に２つに割ったことと一緒ですよね。

でき上がる２本の細い帯、
その“おしり”は
もう一方の帯の“あたま”と
繋がるようになっているわけです。

ここまでで、（質問1）の説明となるのはおわかりいただけますか？

また、（質問1）によって半分に切られたワッカには
接着面が“２ヶ所”あります。
一つの接着面は180度ねじれているわけですから、
２ヶ所で３６０度。
つまり元に戻ってしまいます。
ですので、切った輪は２つの別々な輪になってしまいます。
　　┬───────┬───────┬
え２│あ１　　　い１│う２　　　え２│あ１
　　┼　─　─　─　┼　─　─　─　┼
え１│あ２　　　い２│う１　　　え１│あ２
　　┴───────┴───────┴
　　　　　　　　　　↓
　　┬───────┬───────┬
え２│あ１　　　い１│う２　　　え２│あ１
　　┴───────┴───────┴
　　┬───────┬───────┬
え１│あ２　　　い２│う１　　　え１│あ２
　　┴───────┴───────┴

ここまでが（質問2）の説明です。我ながら分かりにくい説明です。

つまり、帯のつなぎ目はすべて反転しているわけで、
この［つなぎ目の数］が
　偶数なら出来た輪は分裂し、
　奇数なら繋がる。
ということになります。

つなぎ目では必ず反転しますので、
つなぎ目の数が
１個なら［反転］→［反転］→《繋がったまま》
２個なら［反転の反転］→［元通り］→《分裂》
３個なら［反転の反転の反転］→［反転］→《繋がったまま》
４個なら［反転の反転の反転の反転］→［元通り］→《分裂》
５個なら……

うーん、本当に分かりずらい。
質問をくださればさらに解説します。

回答No.4

Naka

ちょっと実際にやってみないと自信はありませんが…
質問１の「１回捻る」は、「半回転」と捉えてよろしいですね？？
これを切ると１本になりますね。
でもそれを更に半分に切ると、「半回転」×４になり、「つながった２本の輪」になるはずです。

つまり最初の時点で、「半回転」×ｎ回捻った状態で切ると、ｎが奇数のとき「半分の幅の１本の輪」になり、偶数のとき「２本の輪」になると思います。
理由ですが、奇数のときは半分に切った片方の終点が、他方の始点につながっているからですね。
偶数だと同じ方につながりますから。

頭の中で考えただけなので、間違っていたらお許しください。

回答No.3

yoda

｢メビウスの輪｣を切り続けると、切れば切るほど、細くなって行くだけです。
例えるなら｢きしめんで作った輪が、そうめんの輪になっちゃった｡｣って感じかな
もっと高度になると、｢クラインの壷｣(メビウスの輪の高次元版)なんて物があります｡もう少し、お子さんが大きくなったら話してあげて、｢パパ､凄～い!｣と言われてみましょう。

参考URL：

http://www.teleway.ne.jp/~morikawa/sya.html

回答No.2

tuha

逆もまた真ナリで、輪にする前の２ｃｍほどの紙テープを、真中で1ｃｍに切って、バラバラにならないように、両手でつまみます、それを左右同じようにつなぐと、二つの輪になりますネ。しかし、どちらかをひっくり返すと、一本の輪になると云う事。これをする時切り口に印をつけておくと解かりやすい。
　（質問2）の答は、太さや、大きさには関係ない。と云う事です。
　Hiramatuさんの云う通り、表と裏の違いの分かる物で験すと良いでしょう。

回答No.1

noname#4643

問１・２については、実際にやってみてはいかがでしょうか。紙テープが自宅にあるという家は少ないかもしれませんが、新聞紙を１０センチくらいの幅に切って、一回ひねって（表と裏がつながるように）からノリで両端を貼り付けて作ったものでも結果は分かります。
また、２回ひねる(表と表、裏と裏がつながるように)と別の結果が出るのでそれも試してみると面白いと思います。

ちなみに、問１の輪については、メビウスの帯と呼ばれているものです。