数学者は不完全性理論をどう考えているんでしょうか？

質問

ある数学の教師に、クラスの友達が
「先生はなんで数学みたいなめんどくさいもんをずっとやってられるんですか？」
というような質問を冗談半分に言ったところ、
「数学だけが真理を表せるからだよ！真理の探究が面白いんだ。ふふん！」
というような内容の回答を少し自慢げに返しました。

このやりとりは結構前のことなんですが、先日「不完全性理論」というものがあると知りました。
そこで、このやりとりを思い出したんですが、その先生は不完全性理論についてどう考えているんだろうと疑問に思いました。

自分は数学は不変のものを表せるものだと思ってたので驚きました。
それに同じく、証明等に人生を費やす数学者の方たちはこの不完全性理論とどう向き合って数学に身を寄せているんでしょうか？
自分は数学に全く詳しくなく（むしろ不得意）、不完全性理論についてもただかじっただけなのですが、気になりました。

アンケート的な質問かもしれませんが；；

回答No.6

noname#130082

私は素人ですが。
不完全性定理は、ある意味で、「『数学が自己矛盾を含まないことを数学的に証明することはできない』ということを、『数学的な方法で厳密に証明した』」ようなところがあります。学問の中で、この学問でどこまでできてどこまではできないか、をその学問自身によってはっきり示せたのは数学だけではないでしょうか。この意味で、たとえ、知性に限界があるにしろ、その限界はどこにあるのかを知性で知ることができる、という意味で知性の勝利とも言えます。それに、ゲーデルの扱ったのはあくまで形式化された数学の部分であって、数学者は理屈や形式だけで数学をやっているわけではないです（一流の数学者の「正しさの感性」のようなものの鋭さは人間離れしてます）。
実際に数学を使う立場では、そのぐらいの範囲の数学は十分信頼できる程度に厳密化されていて、この定理があったからといって、２＋２＝４だったのが、ある日突然、２＋２＝５になってしまうわけではないので、数学の厳密性への不安は必用ないと思います。
むしろ、不確定性原理を持つ量子力学が物理学を発展させたように、ゲーデルの不完全性定理に用いられた考え方やテクニックなどは数学の更なる発展（集合論などだけでなく、コンピュータ科学への応用も著しい）に大きく寄与したと思います。

出典があいまいなので申し訳ないのですが、私の記憶では、この分野の世界的権威であってゲーデルの友人でもあった竹内外史教授は、ゲーデルの不完全性定理について、これは集合論にとって新しい公理を探求することがどれほど大事かということを明確に示した、とどこかで書いてました（教授にとっては「偉大」などという言葉ではとても表現できないほど素晴らしい定理らしいです）。
この定理を、いくら公理を付け加えても所詮不完全なんだ、と考える人もいれば、この定理によって集合論をやっていれば研究のタネに困ることは絶対にないことが保証された！と喜ぶ人もいる、ということでしょう。

回答No.5

tomtom_

数学者です．
ゲーデルの不完全性定理について，不完全なことを完全に証明できる，数学はやはり究極の学問だと思っています．

よく誤解されますが，不完全性定理は「全ての数学が不完全」ということを証明したわけではなく，「ある条件の下では，完全な証明は不可能である」ということを証明したものです．

物理数学，例えば一般相対性理論など，多くの場合は「ある条件」というのが「証明が正しい」方に揃っていて，証明を完成することができることが多いです．

結局，アンケートのお答えとしては，「ゲーデル先生が数学の限界を示してくれたおかげで，より厳密に緊張感を持って証明問題に取り組むことができる」と思っています．

ゲーデル先生は不思議なブラックホールを発見するなど，アインシュタイン先生とも交流が深かった人でしたが，若くして餓死してしまいました．論文を読んでいると，その先で何を証明しようとしていたかがよく分かります．現代の数学者は，それを解き明かすべく，約100年前に生きたゲーデル先生の後を追っています．

回答No.4

a-saitoh

参考URLでもみてください。
別に不完全性定理があるからといって数学者は何も気にしないと思いますよ。ANo.2でしっかり説明されていますが。

僕はコンピュータ屋ですが、不完全性定理と関連のある「停止性判定の不可能性」という話があります。
平たく言うと、コンピュータにプログラムを実行させて停止するか、無限に計算し続けて止らないか、プログラムを解析して判断する一般的な手段は存在しない、というものです。
http://www15.ocn.ne.jp/~rodinia/Wiki/GoedelandTuring.html

こういう定理があるからといって、プログラムを書くのが嫌になったりはしませんね。

なお、代数を含まないほど小さな公理系では、不完全性定理の適用外だったはずです。

参考URL：

http://www.h5.dion.ne.jp/~terun/doc/fukanzen.html

回答No.3

kabaokaba

＞不完全性定理によって解けない定理であるか確かめるのが不可能という事が証明されているのでどうしようもないんです。

削除されるのはわかってますが

解けない定理＝証明されない定理であるのを確かめるのは
一般には不可能ではありませんし，
（不可能なものもあるかしれないが，
つねに不可能であるとは限らない）
不完全性定理は不可能だと主張しているわけではなく，
単に「存在」を示しているだけです．

例えば・・・ZFからはZornの補題は証明できませんが，
証明できないこと自体は証明できます．
Zornの補題は選択公理と同値で
ZFは選択公理とは独立ですので．
また，連続体仮説なんかはZFCからの独立性が証明されています．

回答No.2

kabaokaba

＞このやりとりは結構前のことなんですが、先日「不完全性理論」というものがあると知りました。

多分「不完全性定理」の間違いです．
1930年くらいにゲーデルって人が証明してしまった定理で，
ややこしいことに「完全性定理」というのもあったりします．
＃ちなみに，2006年はゲーデル生誕100年で，
＃ゲーデル関係本が多く出版されてました．

まじめに説明すると，本の一冊やそこらのネタになるので
きわめて大雑把かつ数学用語なしでいきます．

1900年あたりに一度数学が全部ひっくり返るような
大騒ぎがあったんです．
ぶっちゃけた話，それまでは．
ある意味「なぁなぁ」でやってたところを
どんどん突っ込んでいったら，
恐ろしく単純で，それゆえに強力な
理論的な破綻が起きてしまいました
（破綻の内容に興味があれば
「ラッセルのパラドクス」とかでググってください）．
それで，「それじゃああかん！」ということで
いろいろな人がいろいろなことを考えて，
「公理論」というので，数学を構築しなおそうじゃないか
という話ができてきました（いわゆる「ヒルベルトのプログラム」）．
公理がきちんとしていれば，
破綻なく（「無矛盾」），
数学を「完全に」構築できるはずだ！
というわけです．

「公理論」というのは「本当に必要なごく小数の
議論の根源となる規則だけを証明なしに認めて，
それをベースにして数学をつくろう」という考え方です．
公理論で構成されているもので一番有名なのは，
中学校で習う平面幾何（ユークリッド幾何）です．

ゲーデルって人は，まず「一階述語論理の完全性定理」というのを
証明しています．これは，きわめた乱暴にいえば，。
普通に「任意」とか「ある」とか「ならば」「かつ」「または」とかを
使って論理を作る分には「ま，問題なし」というものです．
ところがですね・・・・
「不完全性定理」というのは
その「おっけー」な論理に「数の構造」をいれたとたんに，
無矛盾であるならば「証明も反証もできない定理」が存在する
というものなんです．つまり「どうやっても完全にはできない」．
つまり「ヒルベルトのプログラム」，
「無矛盾で完全な公理系をめざしてがんばろー！」
が駄目になっちゃうのです
（ゲーデル自身は最初はそうは思ってなかったようですが，
ヒルベルトと一緒に研究してたノイマン（コンピュータでも有名な
あのノイマンです）はすぐに「あ，おわった」と思ったらしいです）．

どんなに一所懸命がんばっても「公理論」では
「どんな数学の定理でも証明できる！」というのは幻想にすぎない
ということがわかってしまったんです．

＞自分は数学は不変のものを表せるものだと思ってたので驚きました。

べつに数学が不変とかそういうこととは無縁なんです．
数学（というもののある側面）は，前提条件をきめて
それによって導かれるものを探すというものです．
したがって，前提条件さえ満たされれば，
導出されるものは不変（普遍）です．
不完全性定理は，何もかも導けるわけではなく，
漏れが必ずあるということを主張します．
ただし，不完全性定理も数学の定理ですので
当然，「不完全性定理の前提条件を満たす範囲」での話です．

＞証明等に人生を費やす数学者の方たちはこの不完全性理論とどう向き合って

不完全性定理とはまったく無縁に研究している人が大多数です．
もちろん，根本的なところには不完全性定理とリンクする
部分はあるのですが，あくまでも「前提条件」を定めて
「何が導けるか」というのがメインです．
ものすごく階層化されているので，
不完全性定理とかその周辺を意識することは多くはないのです．

また，不完全性定理などとモロにリンクする分野（いわゆる
数学基礎論）なんかでは
・公理系から導けない定理とは具体的には何？
・導けない定理があるなら，それを導くには
　どういう公理を新しく作ればいいの？
・逆に公理から何を外すと，何ができなくなくなるの？
・有名な定理を証明したいんだけども，何の公理が必要なの？
・公理の同士にはどういう関係があるの？もしかして
　余分なものを公理に中にいれてない？
なんてことも考えられてるみたいですよ．
もちろん「不完全性定理」そのものの証明なんかも
いろいろ構築されているようです．
有名で重要な定理は複数の証明があるものです．

回答No.1

180915

数学者ではありませんが…
不完全性定理によって解けない定理であるか確かめるのが不可能という事が証明されているのでどうしようもないんです。