確率について教えてください

質問

確率論に詳しい方、教えてください。

問．ある暗闇の空間にＡさんとＢさんの2人がいます。その空間内で2人が出会うには、次のどちらが出会う確率が高いですか？
(1)2人とも動き回る
(2)片方は動かず、もう片方のみが動く

。(1)と(2)で、どちらが早く出会えるかを教えてください。できるだけ理論的に教えていただきたいと思います。確率について詳しい方、ぜひとも教えてください。真剣に悩んでいます。また、参考文献などを教えていただけるととても助かります。よろしくお願いします。

回答No.8

mizutaki · ベストアンサー

（１）ＡとＢは数直線上を移動すると考えてよろしいですか。
　→問題の単純化のため一次元（数直線）上を移動するとしました。
（２）1ターン目の確率は、＋２（1/4）、０（1/2）、－２（1/4）の＋２、０、－２はそれぞれＡＢ間の距離の変化分ΔXのことでしょうか
　→距離の変化分、括弧の中は起こりえる可能性です。
（３）１回の移動ＡとＢは数直線上をそれぞれ１だけ移動するということでしょうか。
　→１ポイントだけの移動と過程しました。
（４）1ターン目のターンとは単なる移動ことですか、それとも折り返すの意味ですか。
　→短期的固定時間と考えていただければ結構です。１秒間に１歩進むような話であればその１秒。こういう時間単位は固定化した方が計算式の邪魔をしないと思いましたので使用しました。
（５）１回目の移動を始める前、ＡとＢがいた位置はどこですか。
　→位置未確定。ＸはＡＢ間の距離ですが、両端の位置は固定化する必要が無いので。

--------
＋＋＋＋ＡＢ＋＋＋＋
もしこんな線分上にＡとＢが存在していたら、
１ターン目に出会える可能性は片方両方ともに1/2存在しています。
しかし２ターン目に突入すると話は大きく変わり、
片方だけの場合‘一度離れてしまった為に’このターンで出会える確率は０となります
（片方で２ターン目開始時にあり得るパターン「＋＋＋Ａ＋Ｂ＋＋＋＋」）
両方の場合は‘前のターンでＢが近づいていれば’1/2の確率で出会える確率が再び発生する事になります
（両方で２ターン目開始時にあり得るパターン「＋＋＋ＡＢ＋＋＋＋＋」「＋＋＋＋＋ＡＢ＋＋＋」「＋＋＋Ａ＋＋Ｂ＋＋＋」）

なぜ２ターン目で出会える可能性が存在しない場合とする場合があるのか？
それは、片方では「（移動速度）*（時間）」の距離の移動と出会う確率が発生するが
両方では「（移動速度）*（時間）*２（両方が動く為）」の距離の移動と出会う確率が発生します。
結果として両方の方が動き回る量が多くなり、出会える確率が上がるはずです。

回答No.7

naoedsu

いや俺も結構暇人だなｗｗｗ
回答書いてから言い忘れたのを思い出したので補足しておくからねｗｗ
両方動いた場合での距離についてだ
前進方向（３方向）・・・右前・まん前・左前
真横方向（２方向）・・・右・左
後退方向（３方向）・・・右後・真後ろ・左後
の３種類しかないわけだ、お互いな（方向で言うと８種類）
で、３×３×２の１８方向存在するわけだが、この内訳を考えろってことだ
前進同士は、近づくわけだな（６方向）
後退同士は遠のくわけよ（６方向）
んで、真横方向同士は、
近づく方向の（２方向）と
遠ざかる方向の（２方向）と
左右同じ方向に動く（２方向）が存在する（スライドで位置関係が同じって事の意な）
で合計１８方向
このうち、近づく方向（出会える可能性がある方向）は、６＋２の８方向
遠ざかる方向（あるいは出会えない方向）は、１０方向あるって事だ
わかるかなぁ～？同じ確率とのたまう人たちにｗ
８：１０の確率で出会えない方の確立が１．２５倍も高いわけよｗ
言い換えるなら動けば動くほど、どつぼにはまるって寸法なわけよｗ
これが確率計算と言うわけだｗｗｗ

ちなみに、AさんとBさんが交互に動く場合はこうはならないわけなｗ
その場合は、片方が動く条件と同じなので確率的には、片方しか動かない場合とまるっと同じとなるってことなｗ
誰かさんの計算しているようになｗ
いや、特定の人を言っているわけじゃないぜｗ
双方動くのだから、同時に動き回ると解釈するのが質問者の意図だろうがｗ

これにて一件落着ｗｗ

回答No.6

kenjoko

問．ある暗闇の空間にＡさんとＢさんの2人がいます。その空間内で2人が出会うには、次のどちらが出会う確率が高いですか？
(1)2人とも動き回る
(2)片方は動かず、もう片方のみが動く

　　　　　答…同じ

(1)と(2)で、どちらが早く出会えるかを教えてください。

　　　　　答…同じ

今晩はmizutzkiさんNo.３のkenjokoです。楽しくやりたいと思います。

次の補足をお願いします。

　A-B間の距離が縮まるか伸びるかの確率と回数に関して
・両方が動く場合、
　　1ターン目の確率は、＋２（1/4）、０（1/2）、－２（1/4）。
・片方が動く場合、
　　1ターン目の確率は、＋１（1/2）、－１（1/2）。
　　2ターン目の確率は、＋２（1/4）、０（1/2）、－２（1/4）。

とありますが

（１）ＡとＢは数直線上を移動すると考えてよろしいですか。

（２）1ターン目の確率は、＋２（1/4）、０（1/2）、－２（1/4）の

＋２、０、－２はそれぞれＡＢ間の距離の変化分ΔXのことでしょうか

（３）１回の移動ＡとＢは数直線上をそれぞれ１だけ移動するということでしょうか。

（４）1ターン目のターンとは単なる移動ことですか、それとも折り返すの意味ですか。

（５）１回目の移動を始める前、ＡとＢがいた位置はどこですか。

以上のことを確認した上でNo.５を検討させていただきます。よろしくお願いします。

私は試行（移動）回数は無関係だと考えています。

空間にn個の点があるとき、

[1]ＡとＢがそれぞれ任意の点に移動したとき、二人が出会う確率は

1/n… Ｐ1　とする

[2]Ａをある１点に固定して、Ｂだけが任意の点に移動したとき、二人が出会う確率は

　　　　 　1/n… Ｐ2　とする

Ｐ1＝Ｐ2＝１/ｎ　のとき、両方ともn回の試行（移動）で１回出会うことが期待できる。

[1]、[2]の両方ともn回目の移動で二人が出会う確率は 1/n

よって、二人が動いたときも、一人だけ動いたときも、二人が最初に出会う確率は等しい。…となったわけです。こちらもご検討お願いいたします。

回答No.5

naoedsu

言葉が汚すぎて削除食らったので、少々上品に回答しまふｗ
まるっと正解の答えですから、心して読むようにｗ
お互いが、出会える最短距離まで来た場合で
片方しか動かない場合
１２３４５
１ＡＢ４５
１２３４５
Ａだけが動いて、Ｂにあえる確率
動ける方向８方向のうちＢ方向の一種類のみ
つまり、出会える確率１/８・・・１２％

お互いが、出会える最短距離まで来た場合で
両方動ける場合
１２３４５
１Ａ３Ｂ５
１２３４５
Ａは８方向中３方向で出会える（３．３．３）３／８
Ｂも同様８方向中３方向で出会える（３．３．３）３／８
出会える確率は、３／８×３／８＝９／６４＝１４％

ここまでは、ＯＫですね。
ここまでなら、両方動く方が多少ではあるが出会える確率が高いといえる部分。

しかぁ～～～しｗ
計算するまでも無く圧倒的な違いが一つあるわけです。
仮に５０枡あったとしますね、
片方が動かない（Ｂ）に対し動く（Ａ）は、その空間分を全て回ると必ず出会えるわけです。
つまり毎回空間の升目ー１ということです。
１０回移動すればー１０で、残りは４０というわけ。
しかし、両方動くと、いつまでたっても５０枡を基準に考えないといけません。
先ほどの計算で、１０％台の会える分に対し会えないのは８０％台このとてつもない違いが分かりますかぁ。
隣まで来ているのに、会えない確率が８０％台なわけよ。
それが常に５０枡で考え無くてはいけない。

言い換えると、
闇雲に動かないといけない（近づくけど遠のくことも同じ確率で存在）
ＶＳ
計算できる出会い（確実に１枡ごと相手に近づく）
最後は、最初の計算に従い出会えるという事。

両方動く方も片方しか動かない方もー１と計算すると、それは間違いでありんす。

言い換えると、Ｂさんは、２枡を行ったり来たりしているだけでかなり損をするわけです。
一生出合えない確率の方が何倍も大きいわけ。

両方動くと常に１４％（出会えない確率８６％）
片方なら、最悪の最長距離でも４９回目まで１２％　５０回目は１００％出会える。
言い換えると、２回目に１００％かもしれないわけ。
この違いでかいでそ。
リーチの一つ手前考えてみｗ
１４％・１４％
ＶＳ
１２％・１００％
違い、でかいべぇ～ｗ

ってか、面倒くさくなりましたので、もうきませんｗ

回答No.4

mizutaki

一晩寝て一つ分かった。

同じor片方といっている人の計算式は詰まるところ「到達出来る確率」になるのであって、回数という概念を無視していると見えます。

（※前提に関しては前の私の書き込みを参照）
A-B間の距離が縮まるか伸びるかの確率と回数に関して
・両方が動く場合、
　　1ターン目の確率は、＋２（1/4）、０（1/2）、－２（1/4）。
・片方が動く場合、
　　1ターン目の確率は、＋１（1/2）、－１（1/2）。
　　2ターン目の確率は、＋２（1/4）、０（1/2）、－２（1/4）。
（※数値は縮まる距離、括弧は発生確率としてます）

ちなみに上記の可能性に関しては数値を増やしても同じ関係になります。
よってターンと確率の関係は
”ターン（両方：片方＝１：２）である場合、確率（両方＝片方）”
よって、両方動く方が片方より２倍の確率で早く会う事が出来る。

空間という枠組み制限を外す事もそのまま流用出来るとすれば、
どんな空間内でも、片方だけが動くより両方動く方が早く会う事が出来る確率が高い。
と結論づける事が出来ます。

回答No.3

kenjoko

結論　どちらも同じ

　空間にｎ個の点がある。n=6の場合を考える。

　点名をそれぞれ１，２，３，４，５，６とする。

[1] ＡさんとＢさんは空間の任意の点（点１、～、６でもよい）にいる

とする、ＡとＢが無心にサイコロをなげたとき、出た目と同じ点に移動

すると、同じ点に移動する確率は　1/6

[2] Ａさんを点１、～、６のどこかに固定する。Ｂさんは空間の任意の

点（点１、～、６でもよい）にいるとする、Ｂが無心にサイコロをなげ

たとき、出た目と同じ点に移動すると、Ａと同じ点に移動する確率は　

1/6

任意のn(自然数）で成り立つ。

回答No.2

mizutaki

んー、確率論なんて高校レベルの知識がぎりぎりあるくらいですが、

とりあえず、空間の次元数を１と固定と前提を立てる。
……□□□□Ａ□□…□□Ｂ□□□□……
というような状況になり、ＡとＢの距離はxの距離が存在している事になる。
このxの距離が０になる確率が
１ターンの内にAB両方が動く場合と片方だけが動く場合の
どちらが良い確率になるかを考える。
（AとBが同じ速度で動くと勝手に前提を追加しておく）

そう考えると、
両方動くパターンの場合1/2の確率で距離は縮まらない
　　1/4の確率で±2yの距離が動く
片方動くパターンの場合は1/2の確率で±1yの距離が動く

プラスマイナスの差は大きいですが、移動する距離が大きいパターンの方が早く距離が０（もしくはそれ以下）になる、確率が高いという形になるっぽいです。

ここまでを前提として、1次元だった話を2次元にしても3次元にしても、
おそらくは移動距離の大きい「両方動く」
というパターンの方が出会える確率は高くなる
と予測します。

回答No.1

naoedsu

小学生レベルでつ。
片方が動かないと早いでつ。
動く方だけの確率でそｗ
すなわち空間分だけ。
１０枡あるなら最悪でも１０升目には出会えるでそ～
両方動くと、同時に交わる確率は、無限大に大きくなるでそｗ
クロスするだけじゃなくて、同時に交わる場所に来ないといけないわけでそｗ
へたすりゃ、一生会えないでそｗ
１から１０の枡にはいきなり行けないからねｗ
二つのサイコロを転がして同じ目が出る（出会える）確率とは全然違うでそぉ～ｗ
おわかり？