f(x1,x2)=12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)0 (その他の時)における確率変数X1とX2が独立である
[問]同時確率密度関数f(x1,x2)=
12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
0 (その他の時)
における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。
が示せず困っています。
どのようにして示せますでしょうか?
一応,定義は下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られる。
このP_Xを確率分布といい,特にXがX=(X1,X2)という確率ベクトルになっている時,
P_XをX1,X2の同時分布という。
独立とは∀A1,A2∈Fに於いて,P(X1∈A1,X2∈A2)=P(X1∈A1)P(X2∈A2)が成り立つ事で
ある。
「確率分布関数 f(x,y)において、
f1(x)=∫[-∞,∞]f(x,y) dy
f2(y)=∫[-∞,∞]f(x,y) dx
と定義すると、確率変数x,yが独立であることの必要十分条件は
f(x,y)=f1(x)f2(y)」
と思いますので
f1(x1)=∫[-∞～∞]12x1x2(1-x2)dx2
=∫[-∞～∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞
f2(x2)=∫[-∞～∞]12x1x2(1-x2)dx1
=∫[-∞～∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞
と求めましたがこれから先に進めません。どのようにすればいいのでしょうか?
お礼
ありがとうございました。 確率空間というのが、ひっかかっていて理解しずらかったのですが、 ベン図を書いてみてとても容易なことだったことが わかりました。 説明ありがとうございました。