外積が右ねじの向きであることの証明

質問

外積（a×ｂ）が右ねじを回す方向というのはどうやって示すのでしょうか？

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa482563.html

のNo7さんが少しそのことに触れているのですが、よく分かりませんでした。
一般的に示せる方はいらっしゃいますか？

よろしくお願いします。

回答No.6

noocyte

#5 です．訂正＆補足します．

●訂正

　誤：座標系が右手系であれば，ｅy×ｅz に対する右ねじの向きはｅxです．
　正：座標系が右手系であれば，ｅyからｅz方向の回転に対する右ねじの向きはｅxです．

　誤：もし座標系が左手系であれば，ｅy×ｅz に対するｅxは左ねじの向きになりますが，
　正：もし座標系が左手系であれば，ｅyからｅz方向の回転に対するｅxは左ねじの向きになりますが，

●補足

> 「右／左」の概念は，外積の定義式の中に含まれているわけではありません．
> 座標系 (座標軸) の取り方によって決まります．
> 「外積は右ねじ方向」というのは，座標系が右手系だからそうなります．
> 座標系を左手系にすれば，外積の計算式 (座標成分の値) はそのままで，
> 「外積は左ねじ方向」を向きます．

もし，↑がわかりにくければ，簡単な具体例で考えてみてください．

(1, 0, 0) × (0, 1, 0) ＝ (0, 0, 1)

つまり ｅx × ｅy ＝ ｅz ですね．

右手系では，＋Ｘ方向から＋Ｙ方向への回転に対して，
＋Ｚ方向は右ねじの向きになっています．
したがって外積は右ねじの向きです．

しかし左手系では，＋Ｘ方向から＋Ｙ方向への回転に対して，
＋Ｚ方向は左ねじの向きになっています．
したがって外積は左ねじの向きになります．

回答No.5

noocyte

ひょっとしたらポイントを外しているかもしれませんが…

「右／左」の概念は，外積の定義式の中に含まれているわけではありません．
座標系 (座標軸) の取り方によって決まります．
「外積は右ねじ方向」というのは，座標系が右手系だからそうなります．
座標系を左手系にすれば，外積の計算式 (座標成分の値) はそのままで，
「外積は左ねじ方向」を向きます．
(このように，座標系の向きに応じてそれが表す向きが反転するベクトルを
「擬ベクトル」または「軸性ベクトル」といいます．)

擬ベクトル (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%93%AC%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB

ｉ番目の座標軸方向の単位ベクトルを ｅi (i＝x，y，z) とすると，
ａ＝Σ(ａi * ｅi)，ｂ＝Σ(ｂi * ｅi) です．

ａ×ｂがａ，ｂ双方について線形ということを納得しているのなら，

ａ×ｂ ＝ Σ(i)Σ(j) (ａi * ｂj) (ｅi×ｅj)

ｅi×ｅj＝－ｅj×ｅi (したがって ｅi×ｅi＝０) なので，

ａ×ｂ ＝ ΣΣ(i＜j) (ａi * ｂj － ａj * ｂi) (ｅi×ｅj)

ここまでは「右／左」の概念は入っていないことに注意してください．
一応３次元として計算していますが，実はここまでは３次元でなくてもかまいません．
上の最後の式を３次元の場合について書き下すと次のようになります．

ａ×ｂ ＝ (ａy * ｂz － ａz * ｂy) (ｅy×ｅz)
　　　　＋ (ａz * ｂx － ａx * ｂz) (ｅz×ｅx)
　　　　＋ (ａx * ｂy － ａy * ｂx) (ｅx×ｅy)

さて，ここで外積に「右ねじの向き」を入れます．
座標系が右手系であれば，ｅy×ｅz に対する右ねじの向きはｅxです．
あとの２つについても同様なので，
ｅy×ｅz＝ｅx，
ｅz×ｅx＝ｅy，
ｅx×ｅy＝ｅz．

∴ａ×ｂ ＝ (ａy * ｂz － ａz * ｂy) ｅx
　　　　　＋ (ａz * ｂx － ａx * ｂz) ｅy
　　　　　＋ (ａx * ｂy － ａy * ｂx) ｅz

これを成分で書くと，

ａ×ｂ ＝ (ａy * ｂz － ａz * ｂy, ａz * ｂx － ａx * ｂz, ａx * ｂy － ａy * ｂx)．

もし座標系が左手系であれば，ｅy×ｅz に対するｅxは左ねじの向きになりますが，
座標成分は同じです．

… という説明でどうでしょうか？

外積について (高校生のための微分幾何)
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/whats%20tensor2.htm

２次元ベクトルの外積の効用 (線形代数学の教科内容の改善に向けて)
http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa5html/node14.html

３点の座標から簡単に回転方向を判別する．(２次元，外積を用いる方法)
・Ｎ次元の外積，擬ベクトル
http://www5d.biglobe.ne.jp/~noocyte/Programming/Geometry/RotationDirection.html#Digression

回答No.4

kabaokaba

No.2です

「向き」ということをどのように定義するかが重要なのです．
定義なしに数学で証明することはできません．
「向き」の定義を一般的に行うのは厄介です
そもそも向きが決められないケース（メビウスの帯など）も
あります．

実三次元の場合，同一平面上にない三つのベクトルa，b，cの
向きが「右ねじ」であることをどう定義するかですが
これは(a b c) （a，b，cの各ベクトルの成分からなる行列）の
行列式が正になるというのが一番シンプルな定義だと思われます．
実はこれはn次元でも同じです
しかし，これがなぜ「向き」を定めるのかというのが
直観では分かりにくいのです．

・向きは二種類しかない
・軸の順番を一個変えると逆向きになる
・向きが変わると（符号付の）面積・体積の符号が変わる

などということと，1，2次元の場合からの類推で
行列式でこのように向きを決めることの
妥当性がみえてきます．

1次元のとき：
原点から1に向かう方を「正」としましょう（いわゆる「右向き」）．
そして線分の（符号付）長さを考えます．
例えば，0から10に向かう向きは「正」です．
またこのとき，0から10への長さは「向き」を考慮して「10」です．
つぎに，10から0へ向かう向きを考えます．
これは0から-10へ向かうのと同じです．
0から10への向きから0から-10へと向かう向きへの変換は
-1を掛け算することです．
これの「行列式」は -1 で負．
これは向きを変えることを表すとみなせます．
またこの逆向きを基準にすれば，0から10への長さは「-10」です．

二次元の場合：
(1,0)(0,1)による向きがいわゆる「正」の向きです．
例えば，(-1,0)(0,-1)は「正の向き」でしょうか？
図を描けば分かりますが，これは「正」です
このとき，変換行列
-1 0
0 -1
の行列式を考えてください．
(0.1)(1,0)は「正の向き」でしょうか？
今度は「負」です．これも行列式
0 1
1 0
を考えてください．
いろいろなケースで図を描きながら
正の向きか負の向きかと行列式の正負を
比べれば理解できると思います．

同様に三次元でも計算すれば同じ状況なのが見えてきます．

お礼

再度回答どうもありがとうございます。
私が当初思っていたより難しく、またたくさんの回答が寄せられて理解するのに少し時間が掛かりそうです。今日、明日とじっくり考えてからまたコメントを掲載します。
さしあたり回答のお礼のみを申し上げます。

どうもありがとうございました。

回答No.3

threetree

ちゃんとした回答ではないかも知れませんが、
簡単な例なら、極座標を使ってしめせますよ。
a=(r1cosθ1,r1sinθ1,0)
b=(r2cosθ2,r2sinθ2,0)
a×b=(0,0,(r1cosθ1 r2sinθ2- r1sinθ1 r2 cosθ2))
=(0,0,r1r2 (sinθ2cosθ1-cosθ2sinθ1))
=(0,0,r1r2 sin(θ2-θ1))
よってbがaに対し右ねじを回す方向にいたらa×bは正
bがaに対し左ねじを回す方向にいたらa×bは負
になります。

お礼

回答どうもありがとうございます。
私が当初思っていたより難しそうで理解するのに少し時間が掛かりそうです。今日、明日とじっくり考えてからまたコメントを掲載します。
さしあたり回答のお礼のみを申し上げます。

どうもありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

外積は
aとbに同時に同時に直交するので
a，b，a x b は必ず基底になります
もちろんa，bは一次独立と仮定します．
そして，右ねじの代表格は標準基底
だから，標準基底からa，b，a x b への基底変換行列が
向きを変えないことをいえばいいわけで，
それはすなわち，det (a b a x b) > 0　ってことです．
＃計算してないけど(^^;;

補足

回答どうもありがとうございます。

すみません、

「だから，標準基底からa，b，a x b への基底変換行列が
向きを変えないことをいえばいいわけで，
それはすなわち，det (a b a x b) > 0　ってことです．」

ここの記述が分からないのですが、高校レベルでの証明はやはり無理なのでしょうか・・・。

回答No.1

N64

もともと、そういう定義だからでしょう。

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node63.html

補足

説明不足ですみません。

「(aybz－azby,azbx－axbz,axby－aybx)が右ねじを回す向きであることはどのように示すのか」という意味です。

よろしくお願いします。