重積分の問題です

質問

∬e^(ax+by)dxdy 　　(ab≠0,領域R：0≦x,y≦m)
答えは{e^(am)-1}{e^(bm-1)}/abだそうです。
やり方がわからないので誰かお願いします。

回答No.4

mmky · ベストアンサー

「この問題って，広義積分なのかな～と思っていたのですが，違うのでしょうか？
0≦x, y≦m からどうして，0≦x≦m,0≦y≦m と、範囲を指定できるのでしょうか？
範囲は，0≦x だから，座標平面上で右半分の部分で y≦m だから，その右半分のうち，直線y=m より下の部分になると思うのですが…。
どうなのでしょう？」
参考まで

∬e^(ax+by)dxdy
条件がy=mx の形では与えられていないでしょう。だから、
e^ax　と　e^by　は独立事象なんですね。
e^ax　と　e^by　は独立に増加するんですよね。
0≦x≦＋∞, -∞≦y≦m
当然、x→＋∞, -∞≦y の条件では　e^(ax+by)　は発散しますので
積分は不能ですね。収束条件は、0≦x,　y≦m　として与えられていますね。
という条件下で、e^ax　と　e^by　はx軸とｙ軸で独立に増加する値の掛け算といえるものなのです。（＃３を参考に。）
独立事象の掛け算ですから、xとy を入れ換えても同じ答えですよね。
だからx とｙの範囲は同じになるのです。
∬e^(ax+by)dxdy
=[∫(e^ax)dx]*[∫(e^by )dy}≡{∫(e^ay)dy}*{∫(e^bx)dx}
={Σ[x=0→m]e^ax}*{Σ[y=0→m]e^by}
同様の形式にガウス積分がありますね。
[-∞≦(x,y)≦∞]∫∫e＾-(x＾2+y＾2) dxdy
=[-∞≦(x,y)≦∞]｛∫e＾-x＾2ｄx}*{∫e＾-y＾2dy｝
ということかな。　
参考程度に

お礼

いつも丁寧な解答をありがとうございます！
経済学をやるために、微分積分の勉強を始めたばかりで、分からないことが多いので助かっています。

回答No.3

mmky

追伸まで

∬e^(ax+by)dxdy 　　(ab≠0,領域R：0≦x,y≦m)

={Σ[x=0→∞]e^ax}*{Σ[y=-∞→m]e^by}
=Σ{1+ax+(ax)＾2/2！+(ax)＾3/3！+}*Σ{1+by+(by)＾2/2！+(by)＾3/3！+}
=∫{1+ax+(ax)＾2/2！+(ax)＾3/3！+}dx*∫{1+by+(by)＾2/2！+(by)＾3/3！+}dy
={ax/a+(ax)＾2/a*2+(ax)＾3/a*3！+(ax)＾4/a*4！+}{by/b+(by)＾2/b*2+(by)＾3/b*3！+(bx)＾4/b*4！+}
={(1/a)(e^ax-1)}*{(1/b)(e^by-1)}, a, b≠0
x=0, x<0, {(1/a)(e^ax-1)}≡0, {(1/a)(e^ax-1)}*{(1/b)(e^by-1)}≡0　←条件
y>m, {(1/b)(e^by-1)}≡0, {(1/a)(e^ax-1)}*{(1/b)(e^by-1)}≡0 ←条件
y=m,
={(1/a)(e^am-1)}*{(1/b)(e^bm-1)}

∬e^(ax+by)dxdy 　　(ab≠0,領域R：0≦x,y≦m)
={(1/ab)(e^am-1)(e^bm-1)}

回答No.2

rousei

＃１さんのようにやるのが1番イイ方法だと思うのですが、
無理やりやっても出来ます。
０≦ｘ≦ｍ　、　０≦ｙ≦ｍ
ということなら、

∬e^(ax+by)dxdy

= 1/a ∫[e^(ax+by)]ｄｙ　　　（但し｛x：0→m｝）

=1/a ∫{e^(am+by)-e^(by)}dy

=1/ab [ e^(am+by)-e^(by)] （但し｛y：0→m｝）

=1/ab (e^(am+bm) - e^(bm) - e^(am) +1 )

=1/ab (e^(am) (e^(bm)-1) -e^(bm) +1 )　*****　e^(am)でくくった

=1/ab (e^(am) (e^(bm)-1) -(e^(bm) -1) )

=1/ab (e^(am)-1) (e^(bm)-1)

です。でも質問の回答
{e^(am)-1}{e^(bm-1)}/ab
は書き間違いなのかなとおもってやったので、もし見当違いなら申し訳ないです。

回答No.1

mmky

参考程度に

e^(ax+by)=(e^ax)*(e^by ) という掛け算ですよね。
0≦x, y≦m ということで掛け算の有効範囲は
双方とも0→mまでですね。
この範囲でしか掛け算が有効ではないということですね。
ということで、
∬e^(ax+by)dxdy=∫(e^ax)dx*∫(e^by )dy
=[0→m]∫(e^ax)dx*∫(e^by )dy
=(1/a){e^am-1}(1/b){e^bm-1}
={e^(am)-1}{e^(bm-1)}/ab

ということかな。

補足

この問題って，広義積分なのかな～と思っていたのですが，違うのでしょうか？
0≦x, y≦m からどうして，0≦x≦m,0≦y≦m と、範囲を指定できるのでしょうか？
範囲は，0≦x だから，座標平面上で右半分の部分で y≦m だから，その右半分のうち，直線y=m より下の部分になると思うのですが…。
どうなのでしょう？