偏導関数

質問

x=ρcosΦ，y=ρsinΦ　のとき
∂ρ/∂x を求めようとしたのですが

x^2+y^2=ρ^2(sin^2Φ＋cos^2Φ）
よって，ρ=(x^2+y^2)^(1/2)と変形すれば
∂ρ/∂x = x/ρ = cosΦ　となりますが

F(x,ρ,Φ)=ρcosΦーx　とおいて陰関数定理を用いて
∂F/∂x = -1
∂F/∂ρ = cosΦ
よって，∂ρ/∂x = ー(∂F/∂x）/(∂F/∂ρ) = 1/cosΦ　！？
となってしまいます。
前者が正しいと思うのですが、どうしてこの様に結果が異なってしまうのでしょうか？
教えてください。

回答No.5

mmky · ベストアンサー

参考程度に

「x=ρcosΦ，y=ρsinΦ のとき、次のことを証明せよ。
(1) x(∂f/∂y)-y(∂f/∂x)=0 ならば，f(x,y)は、ρだけの関数である。
(2) x(∂f/∂x)+y(∂f/∂y)=0 ならば，f(x,y)は、Φだけの関数である。」

f(x,y), x=g(ρ,φ), y=h(ρ,φ)

(1)
∂f/∂φ=∂f/∂x*∂x/∂φ+∂f/∂y*∂y/∂φ
=∂f/∂x*(-ρsinΦ)+∂f/∂y*(ρcosΦ）
=-∂f/∂x*(y)+∂f/∂y*(x)
∂f/∂φ=0, -∂f/∂x*(y)+∂f/∂y*(x)=0

(2)
∂f/∂ρ=∂f/∂x*∂x/∂ρ+∂f/∂y*∂y/∂ρ
=∂f/∂x*cosΦ+∂f/∂x*sinΦ
ρ*∂f/∂ρ=∂f/∂x*ρcosΦ+∂f/∂x*ρsinΦ
=ρ*∂f/∂ρ=∂f/∂x*x+∂f/∂x*y
∂f/∂ρ=0, ∂f/∂x*x+∂f/∂x*y=0

「(3) (∂^2f/∂x^2)+(∂^2f/∂y^2)
　　=(∂^2f/∂ρ^2)+(1/ρ)(∂f/∂ρ)+(1/ρ^2)(∂^2f/∂Φ^2) を示せ。」

(1),(2)を利用
∂f/∂ρ=∂f/∂x*cosΦ+∂f/∂x*sinΦ

∂＾2f/∂ρ＾2=(∂^2f/∂x^2)∂x/∂ρ*cosΦ+(∂^2f/∂y^2)∂y/∂ρ*sinΦ
= (∂^2f/∂x^2)*{cosΦ}＾2+(∂^2f/∂y^2)*{sinΦ}＾2 ---(A)

∂f/∂φ=∂f/∂x*(-ρsinΦ)+∂f/∂y*(ρcosΦ） :註：積の微分です。

∂＾2f/∂φ＾2=(∂^2f/∂x^2)∂x/∂Φ*(-ρsinΦ)+(∂^2f/∂y^2)∂y/∂Φ*(ρcosΦ）-∂f/∂x*(-ρcosΦ)-∂f/∂y*(ρsinΦ）
=(∂^2f/∂x^2)*(-ρsinΦ)＾2+(∂^2f/∂y^2)*(ρcosΦ）＾2+∂f/∂x*(-ρcosΦ)+∂f/∂y*(-ρsinΦ)

∂＾2f/∂φ＾2+∂f/∂x*(ρcosΦ)+∂f/∂y*(ρsinΦ)
=(∂^2f/∂x^2)*(-ρsinΦ)＾2+(∂^2f/∂y^2)*(ρcosΦ）＾2

{∂＾2f/∂φ＾2+ρ*∂f/∂ρ}/ρ＾2
=(∂^2f/∂x^2)*(sinΦ)＾2+(∂^2f/∂y^2)*(cosΦ）＾2 --(B)

(A)+(B)から
(∂^2f/∂x^2)+(∂^2f/∂y^2)=∂＾2f/∂ρ＾2+{∂＾2f/∂φ＾2+ρ*∂f/∂ρ}/ρ＾2

ということですね。参考まで

回答No.4

Mell-Lily

x=ρ・cosφ　…(1)
　y=ρ・sinφ　…(2)

(1)から、
　ρ=x/cosφ.　…(3)
したがって、
　∂ρ/∂x=1/cosφ.　…(4)
また。(1),(2)から、
　ρ=√(x^2+y^2).　…(5)
したがって、
　∂ρ/∂x=cosφ.　…(6)

(3)は、
　ρ=f(x,φ)=x/cosφ.
すなわち、ρをxとφの関数と見ているわけです。一方、(5)は、
　ρ=g(x,y)=√(x^2+y^2).
すなわち、ρをxとyの関数と見ているわけです。つまり、(4)は、φが一定のときのρのxに対する微分であり、(6)は、yが一定のときのρのxに対する微分なのです。座標平面で考えれば、分かりやすいでしょう。

回答No.3

mmky

#2のmmkyです。
参考が多少すっきりしていませんので、追記しておきます。
「x=ρcosΦ，y=ρsinΦ　のとき ∂ρ/∂x を求めようとしたのですが」

x=f(p,Φ), y=g(p,Φ) ということであれば、

∂x=(∂f/∂p)∂p+(∂f/∂Φ)∂Φ
=cosΦ∂p - psinΦ∂Φ
∂x/∂p=cosΦ - psinΦ∂Φ/∂p
∂p/∂x=1/{cosΦ - psinΦ∂Φ/∂p}
∂Φ/∂p=0, であれば、
∂p/∂x=1/cosΦ

y=(∂f/∂p)∂p+(∂f/∂Φ)∂Φ
∂y=sinΦ∂p+pcosΦ∂Φ
∂y/∂p=sinΦ+pcosΦ∂Φ/∂p
∂p/∂y=1/{sinΦ+pcosΦ∂Φ/∂p}
∂Φ/∂p=0, であれば、
∂p/∂x=1/sinΦ

考え方（2）
x^2+y^2=ρ^2

p=f(x,y)=√(x^2+y^2)
∂p=(∂f/∂x)∂x+(∂f/∂y)∂y
=(x/p)∂x+(y/p)∂y
∂p/∂x=(x/p)+(y/p)∂y/∂x
∂y/∂x=0, であれば、つまりy=定数のとき、
∂p/∂x=(x/p)　：(x/p)は変数xで変化する傾き

ということですね。＃２の参考の追記まで

補足

回答ありがとうございます。しかしなんだかまた分からなくなってきた…。
具体的には次のような問題を解こうとして∂p/∂xが必要になりました。

・問題
x=ρcosΦ，y=ρsinΦ のとき、次のことを証明せよ。
(1) x(∂f/∂y)-y(∂f/∂x)=0 ならば，f(x,y)は、ρだけの関数である。
(2) x(∂f/∂x)+y(∂f/∂y)=0 ならば，f(x,y)は、Φだけの関数である。
(3) (∂^2f/∂x^2)+(∂^2f/∂y^2)
　　=(∂^2f/∂ρ^2)+(1/ρ)(∂f/∂ρ)+(1/ρ^2)(∂^2f/∂Φ^2) を示せ。

(1)は(∂f/∂Φ)=0,(2)は(∂f/∂ρ)=0 を示して出来たのですが，
(3)を解こうと
(∂^2f/∂x^2)
=(∂/∂x)(∂f/∂x)
=(∂/∂ρ)(∂f/∂x)*(∂ρ/∂x)+(∂/∂Φ)(∂f/∂x)*(∂Φ/∂x)
…。と変形していくわけですが、この計算のために必要だったわけです。
なお、上の変形は解答に書いてあったので多分あってると思います。
また，解答では∂p/∂x=(x/p)=cosΦ，出計算されていたため訳が分からなくなった次第です。

回答No.2

mmky

参考程度に
#1のspringsideさんのご指摘の通り、変数と定数の混同がありますね。

(1)
x^2+y^2=ρ^2(sin^2Φ＋cos^2Φ）
よって，ρ=(x^2+y^2)^(1/2)と変形すれば
∂ρ/∂x = x/ρ = cosΦ　となります。

ですが正しくありません。もし、Pとxが変数であれば、円の方程式ではないのでｙを定数として、P=√(x＾2+k) , k=y＾2
dp/dx=x/√(x＾2+k)=x/p , x/p=cosθ　でこれはcosΦ ではありません。
cosΦが有効なのは、pが定数で、x,y が変数の場合です。

（2）
∂ρ/∂x = ー(∂F/∂x）/(∂F/∂ρ) = 1/cosΦ　

極座標でPを変化させると,cosΦ は定数ですから、Δx=Δr*cosΦ
ですから、∂ρ/∂x = 1/cosΦ はあっていますね。

といういことですかね。

回答No.1

springside

回答ではないのですが。

文字としてx,y,p,Φの４つが登場していますが、その４つのうち、変数はどれで、定数はどれでしょうか。
そこら辺で混乱が生じているような気がしますが。

また、∂ρ/∂x = －(∂F/∂x）/(∂F/∂ρ)についている「マイナス」は不要のような気がします（分数計算のように見れば）。