偏導関数について。

質問

（１）ｆ(x,y)＝x'2y+xInxy
（２）f（x,y)＝-Inx'2y+ye'-2x　　ちなみに'2は二乗、'-2xは－２ｘ乗です。

この関数の１階偏導関数fx,fy、および交差偏導関数fxy、２階の偏導関数fxxをもとめよ。

という問題がよく分かりません。
解説も含めて説明して頂けるとうれしいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

まず、『In』はもしかして『ln』ではないでしょうか？
lnとは、底がeの対数のこと（自然対数）です。
それと（１）のx'2yは『(xの2乗)×y』でしょうか？そうだという前提で話を進めます。

> １階偏導関数fx,fy

fxはf(x,y)をxで1回微分したもの、fyはf(x,y)をyで1回微分したものと考えてください。
f(x,y) = x'2 + 3xy + y'3だとしたら（'2は2乗、'3は3乗とします。）

fx = 2x + 3y
fy = 3x + 3y'2

fxを計算する際に、yは定数と考えます。
x'2をxで微分すれば2xです。その次に3xyをxで微分することを考えます。
3axをxで微分すると3aですよね？同じ理由で3xyをxで微分すると3yになります。
次にy'3の微分ですが、xの無い単なる数を微分すると0になりますよね？
例えば3を微分すれば0ですし、-9を微分しても0です。同様の理由で、定数y^3もxで微分すると0です。
fyはyで微分するので、今度はxを定数と考えてyで微分して下さい。
x'2にはyが何もついていない定数ですからyで微分すると0です。
3xyはyで微分すると3x、y'3はyの3乗なのでyで微分すると3y'2です。

> および交差偏導関数fxy

交差偏導関数という表現は初めて見ましたが、fxyとなっているので、
fxを1回yで微分したものがfxyとなるはずです。
yで微分するので、xは定数と考えてください。
fx = 2x + 3yなら、

fxy = 3

です。

> ２階の偏導関数fxx

fxをもう1回xで微分したものです。xで微分するのでyは定数と考えてください。
fx = 2x + 3yなら、

fxx = 2

です。

（１）のf(x,y) = x'2y + xlnxyでしたら、

fx = 2x + 1 + lnxy （x'2 → 2x 、 xlnxy → (1 + lnxy)）
fy = x'2 + (x/y)　（x'2y → x'2 、xlnxy → (x/y)）

となるはずです。ただ、計算ミスがあるかもしれないので、
実際に計算してみて答えを出してください。

回答No.2

R_Earl

ANo1ですが、下から5行目を訂正です。

（誤）fx = 2x + 1 + lnxy （x'2 → 2x 、 xlnxy → (1 + lnxy)）
　↓
（正）fx = 2xy + 1 + lnxy （x'2 → 2xy 、 xlnxy → (1 + lnxy)）