２階偏導関数

質問

大学で２階偏導関数をやりました。
で・教科書に載ってる問題やってたらどうしても一つわからないものがあって…教えてください。

f(x,y)=sin(x,y^2)の２階偏導関数を求めてください。

教えてください(>o<)

回答No.1

KENZOU · ベストアンサー

偏微分は微分する変数以外は一定と見なして微分することですね。sin(x,y^2)って関数の微分は通常の三角関数の微分に準じるとしますと
(1)ｘで偏微分・・・この場合変数yは一定と見なしますから
∂f/∂x＝cos(x,y^2)
同様にもう一度ｘで偏微分すると
∂^2f/∂x^2＝-sin(x,y^2)
(2)ｙで偏微分・・・この場合変数ｘは一定と見なします。ここで厄介なのはy^2となっていますからφ＝y^2と変数を置き換えてやり、いわゆる合成関数の微分法を使います。
f(x,y)＝sin(x,y^2)≡sin(x,φ)
∂f/∂y＝∂f/∂φ・∂φ/∂y＝cos(x,φ)・2y=2ycos(x,y^2)
もう一回ｙで偏微分するにも同じようにかんがえると
∂^2f/∂y^2=2cos(x,y^2)-2y{2ysin(x,y^2)}
　　　　　　=2cos(x,y^2)-4y^2sin(x,y^2)
となるのではないでしょうか。　
(P.S)
ところでsin(x,y^2)ってどういう関数なんでしょうか？寡聞にしてほとんどお目にかかったことがないですが、、、(笑い)。