謎のマクローリン展開

質問

添付した写真に載せた式はマクローリン展開によって導かれるそうなのですが一体どうやるんでしょうか…普通にやるならこの左辺の関数を3階微分までしなくてはならないのですが複雑すぎておそらく人力では無理です…　とても贅沢な要望になってしまうのですがこの展開をスタイリッシュに行う方法をどなたかわかる方ご教授ください… どうしてもわからないです…

回答No.1

gamma1854

y=(1+x)^{1/(1-x)}, (|x|<1) とします。
対数をとり、
ln(y)={1/(1-x)}*ln(1+x).
ここで、
1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ....,
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3/ - ...,
を利用して積を x^3までをまとめ、
ln(y)=x + x^2/2 + (5/6)x^3
これから、
y = e^(x + x^2/2 + (5/6)x^3)
=1 + {x+x^2/2+(5/6)x^3} + (1/2!)*{x^2+x^3} + (1/3!)*{x^3}
=1 + x + x^2 + (3/2)x^3.