ラグランジアンの方程式について

質問

L=1/2m(l)^2(φ)^2-mgl(1-cosφ)
φ≪１の場合の解を求めよ。

この問題の解き方がわかりません。どなたか教えてください。

回答No.5

owata-www

＃３ですが、すいません　ミスしました (泣

＃４さんの仰るとおりです

お礼

大変お世話になりました。またわからないことがあったらよろしくお願いします。

回答No.4

e_o_m

＞1-cosφ=2sin^2φ
ではなく、正しくは
　　1-cosφ=2sin^2(φ/2)
となるので、正しい運動方程式は
　　φ''=-(g/l)φ
となります。

＞φ''=(-4gφ)/l
＞というところまで理解できました。この後この式を積分して一般解をだしますよね!?すると
＞φ=(-2gφ^3)/3l+(C) C：積分定数
＞こうなると思うんですが積分定数はどおやって求めるのでしょうか？
としていますが、この運動方程式を積分してもこのようにはなりません。

φ''=(d^2/dt^2)φ　ですので、もしこの運動方程式が
　　φ''=(-4gt)/l
と表されていたら、tで2回積分して
　　φ=-{2g/(3l)}t^3+At+B （A,B定数）
となりますが、今の場合積分しようとする右辺にφが入っているのでこのようにはなりません。
この微分方程式を真面目に解こうとするならφ=exp(ikt)を代入し、kについて解くとk=±√(g/l)となるので、一般解はこの線形結合で表す事ができ
　　φ=Aexp{i√(g/l)t}+Bexp{-i√(g/l)t} （A,B定数）
となります。
また、この微分方程式は単なる単振動なので、解の形はわかっているので
　　φ=Asin(√(g/l)t+θ)
とした方が多少楽でしょう。
このA,Bは初期条件から決まるものですので、今の問題の場合は指示されていませんからこのままで良いのでしょう。

お礼

ありがとうございました。とても助かります。

回答No.3

owata-www

回答を拝見しました

＞φ''=(-4gφcosφ)/l
こんな感じですかね？

このまま解くのは骨ですよね
φ≪１ならcosφ=1ですから

あるいは
1-cosφ=2sin^2φ
であり、
φ<<1の時
sinφ=φ

つまり、1-cosφ＝2φ^2になります　これを与式に代入して
L=1/2m(l)^2(φ')^2-2mglφ^2
となるので
∂L/∂φ'=m(l)^2φ'
∂L/∂φ=-4mglφ
つまり
m(l)^2φ''-(-4mglφ)=0
φ''=(-4gφ)/l

とでます

お礼

ありがとうございました。
φ''=(-4gφ)/l
というところまで理解できました。この後この式を積分して一般解をだしますよね!?すると
φ=(-2gφ^3)/3l+(C) C：積分定数
こうなると思うんですが積分定数はどおやって求めるのでしょうか？

回答No.2

owata-www

このサイトでは丸投げは禁止事項となっており、削除対象です。自力解答を記載することを求められています。

ヒントで出た式を
L=1/2m(l)^2(φ)^2-mgl(1-cosφ)

に代入すればお分かりになるかと思いますが

お礼

すいません。
L=1/2m(l)^2(φ')^2-2mglsin^2φ
∂L/∂φ'=m(l)^2φ' , ∂L/∂φ=-4mlgsinφcosφ
m(l)^2φ''-(-4mlgsinφcosφ)=0
φ''=(-4gsinφcosφ)/l
φ<<1のときsinφ=φなので
φ''=(-4gφcosφ)/l

こんな感じですかね？

回答No.1

owata-www

1-cosφ=2sin^2φ
であり、
φ<<1の時
sinφ=φ
になります。

後はお分かりになるかと

お礼

‐owata-wwwさん
ありがとうございます。
でもできれば解き方の途中経過なども教えていただきたいのですが…。