表面積が最小

質問

同体積の物体の表面積のもっとも小さい状態が球というのはどうやって示されるのでしょうか？
何かで「表面積が一番小さくなろうとして球になる」みたいなのをよんだことがあるのですが本当に球の表面積が最小なのだろうかと（そうなんだろうけど）、どうやって示されたのか疑問に思ったしだいであります。

回答No.1

jun9031 · ベストアンサー

高次元は難しいので参考ＵＲＬを見てみてください。

ちなみに２次元の円の面積と周囲の長さで考えると分かりやすいかと思います。
円（半径ｒ）の４分の１の扇形を想像してみて下さい。

円弧と同じ長さ（1/2*πr)の直線を考えると（円弧の部分をまっすぐにしたものを考える）と、扇形の面積（1/4*πr^2)より、円弧の部分をまっすぐにした三角形の方（底辺が1/2√2*πrの直角三角形）の面積の方が大きくなります。（糸とかで作って見るとわかりやすいかも）

それを３次元に当てはめると球の表面積と体積の関係になります。古くは古代ギリシャ時代からしられていたようですよ。昔の人はすごいですね。

参考URL：

http://www.mcc.pref.miyagi.jp/people/ikuro/koramu/tayoutai.htm

お礼

どうもありがとうございます。
結構簡単なのだろうと思っていたらこれは難しい！
自分のわかる範囲内だと思っていたのですが・・・
それにしても、昔の人はどうしてそんなにすごいのか。

回答No.3

grothendieck

おそらくいろいろな方法があるでしょうが、変分法の計算を示します。極座標をとり、物体表面の原点からの距離rをθとφの関数とします。するとこれは
　表面積＝∫r^2sinφdφdθ = S
が一定という制約条件の下で
　体積＝(1/3)∫r^3sinφdφdθ
を最大にするという変分問題になります。ラグランジュ乗数をλとし、汎関数を
　I[r, r',φ] = ((1/3)r^3 + λr^2)sinφ
とすると、オイラー方程式は、
　(r^2 + 2λr)sinφ = 0
となって
　r = -2λ =const
すなわち、rがθ、φに依存しない定数である時に最大であることが示せます。表面積で表わすと、
　r=(1/2)√(S/π)
となります。厳密にいうと、最大であることを示すには第二変分などを考える必要があります。

お礼

ぬぬぬ・・・ラ・らぐんじゅ乗数？オイラーほうていしき？（オイラーさんはすごい数学者だったのはしってますが。）
だめです。イマの僕には高度すぎです。
レベルが上がったらまた見てみることにします。
ありがとうございました。

回答No.2

Mell-Lily

このような問題を扱う数学の分野を、変分法と言います。

お礼

変分法。知らない・・・。解けない。困った・・・。
経験値をためて出直します。
ありがとうございました。