課題研究で困っています(物理)

質問

現在私たちは物理で課題研究をしています。
私は既に発表を終えたのですが、友達が『吹き矢の力学』という研究で困っています。
内容は発射する筒の長さがｎ倍に伸びると、飛距離は√ｎ倍になる理由がわからないとの事です。
私も物理は習ったのですが運動方程式などは苦手で助言する事ができなくて……。
誰かその比例のしかたの理由を教えてはいただけないでしょうか。お願いします。

回答No.2

e_o_m

水平方向に吹き矢を飛ばすとします。
発射する時、筒の中では位置によらず一定の力Fを受けるとすれば、FLという仕事をされ（L：筒の長さ）エネルギー保存則から
FL=1/2 mv^2 　（m:吹き矢の重さ）
v∝√L
という水平方向の速度を持ちます。
空気抵抗を無視すれば、吹き矢が地面に落ちる時間tは変わりません。（鉛直方向は自由落下のため）
ですので、落ちるまでに吹き矢が進む距離ｘは
x=vt∝√L
と√Lに比例します。
以上から距離Lがn倍になると(上記のLの中にｎLを入れるとわかりますが)飛距離xは√n倍になります。

ただし角度をつけて発射した場合、地面に落ちるまでの時間も筒の長さに依存するようになるため、飛距離は単純に√n倍となりませんのでご注意下さい。

お礼

1の方との両方の回答を見合わせて理解できました。友達は感謝していました。その分まで、本当にありがとうございました。とても助かりました。

回答No.1

carvelo

ちゃんと計算したりして考えてたわけではないので、正しいかどうか分かりませんが、直感的に思ったことを…。

吹き矢では、筒の中にある気体のエネルギーの一部（Ｅとします）が力学的エネルギーに変換される。このとき飛んでいく矢の質量をｍ、速度をｖとすると
E=mv^2/2
よって
v=√(2E/m)

筒の長さがｎ倍（直径は一定）されると、中の気体の分子数（矢が飛び出す時の気体の分子数で比較します。矢が飛び出す時の圧力は同じと仮定してよいでしょう）もｎ倍される。エネルギーは示量性の量であるから分子数に比例する。すなわち、矢が受け取るエネルギーはｎＥとなる。
このときの速度v'は
nE=m(v')^2/2
よって
v'=√(2nE/m)

したがって、速度は√(n)倍されることになる。
矢を撃ち出す高さが同じで、いつも水平方向にむかって飛んでいくと仮定すれば、地面に到達するまでの時間はいつも変わらず、したがって飛距離は水平方向の速度に比例する。
故に、筒の長さをｎ倍すれば、飛距離は√(n)倍される。

と、こんな感じでしょうか…。
なんか、「吹き矢の力学」とかそんな感じのタイトルの本を図書館で見かけた記憶もありますので、そういった本を参照されると良いかと。

お礼

今日この事を教えてあげました。友達の発表は成功とまでは行かないまでも失敗しないで済んだと思います。とても助かりました。私が言われた分まで、ありがとうございました。