２質点が万有引力で引き合っています。お手上げ状態です・・・

質問

力学の問題が解けません

質量がm1とm2の２つの質点が、最初、直交座標で(-l,0,0)および(l,0,0)の地点にあり、お互いの万有引力だけを受けて運動する。それぞれの初速は(0,2V,2v)および(0,-V,v)である（Vとｖは速さの定数）。

という問題において、
全運動エネルギーはどのような時に大きくなり、どのようなときに小さくなるか。
という問題と
重心に固定した座標系で表現したとき、質点の運動が定常的な円運動になるためのｖに対する条件は？
という問題が解けません。

とりあえず運動エネルギーの時間変化を調べるべく
運動エネルギーを求めて時間微分しようとしたのですが、わからないんです。
お手上げ状態です・・・

どなたかわかりやすく教えてもらえないでしょうか？

回答No.5

yokkun831 · ベストアンサー

>x-y平面からちょっとz軸に軌道面がずれた感じの・・・
そこまで要求されているのですか？
問題を読まないとわかりませんが、同心円を２つ描いて、位相がπ
ずれて同じ回転方向に運動する様子を描いただけではダメかな？

私もだいぶ勉強になったので、引用整理させていただきました。
ご了承お願いするとともに、参考になりましたら。
http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/36.html

>よければわかりやすい参考書を教えていただきたいのですが・・・
私は学生ではありませんが、学生時代は怠学傾向の物理学徒でした。
むしろ卒業してから物理のおもしろさを実感し、学び直しています。
そんなわけで、参考書をおすすめできる立場でもありませんが、
おもしろいと感じたテキストを易しい順に３つあげておきます。
(1) ファインマン物理学　「力学」　　ファインマン
(2) 「力学---新しい視点に立って」　バージャー、オルソン
(3) ランダウ-リフシッツ理論物理学教程　ランダウ、リフシッツ

お礼

まさかここまでしていただけるとは・・・

本当に感謝の気持ちでいっぱいです。
力学をもっと理解できるように頑張っていきます。

回答No.6

yokkun831

回答No.3の
>ちなみにL'<Lの場合，m1，m2の軌道の長半径a1，a2，短半径b1，b2とすると
>a1+a2=2L , b1+b2=2L'
の部分は，間違いでしたので撤回しておきます。

回答No.4

yokkun831

「相対質量」⇒「換算質量」の間違いでした。ごめんなさい。
もちろん換算質量を使わなくてもできるのですが，記述がとても簡明になり，計算も省略できます。

お礼

一応自分なりに考えてみました。m1をm、m2を2mとして
最終的に円運動となるときの条件下での運動の様子を図示せよ、とあったので、がんばって考えてたけっか

x-y平面からちょっとz軸に軌道面がずれた感じの半径Lの円運動する２つの質点がZ軸方向に速度4/3vで上がっていく感じになるようでした。

まだまだ詰めが甘い感じですがだいたい解けたように思います。

回答者様は一般人となっていますが、学生でしょうか？
僕は学生なのですが、力学に関しては参考書などの指定がされておらずどれを選べばいいのか分からない状態です。
よければわかりやすい参考書を教えていただきたいのですが・・・

そんなものない、、なら自分でもっと探してみます汗

回答ありがとうございました！！

回答No.3

yokkun831

ある程度の進展がありましたので，追加です。
重心系に移った後は，相対変位，相対速度，相対質量を用いて記述するのが簡明です。
円運動の方程式より，No.2に書いた不等式は相対質量μ=m1m2/Mを用いて
μ(9V^2+v^2)/(2L) <=> GμM/(2L)^2
と書けます。また，不等号の成立で楕円軌道になるとき，もうひとつの最近点（最遠点）距離L'になるときの相対速度Uとおくと，
エネルギー保存
1/2・μ(9V^2+v^2) - GμM/(2L) = 1/2・μU^2 - GμM/(2L')
角運動量保存
μ・2L√(9V^2+v^2) = μ・2L'U
の両式を連立させて，L'を求めることができます。
ちなみにL'<Lの場合，m1，m2の軌道の長半径a1，a2，短半径b1，b2とすると
a1+a2=2L , b1+b2=2L'
となると思います。２つの質点は，重心を中心とする相似な楕円軌道を描くことになりますね。

補足

本当にありがとうございます！！
この考え方でちょっとやってみます。
行き詰ったらまた質問します！！

回答No.2

yokkun831

確かにかなりの難問ですね。私も完遂してはいないので、見通しのみ述べます。
まず、円運動の条件を先に考えた方がよさそうです。
重心系におけるm1、m2の初速度は、M=m1+m2 として
u10 = (0 , 3m2V/M , m2v/M)
u20 = (0 , -3m1V/M , -m1v/M)
となります。このとき、明らかに速度は動径に垂直ですから
円運動の方程式から、（1と見間違うので、l→Lとします）
m1u10^2/(2m2L/M) <=> Gm1m2/(4L^2)
m2u20^2/(2m1L/M) <=> Gm1m2/(4L^2)
両者は結局は同じ式になります。
不等号　<　のとき、軌道は楕円で初期状態は最遠点になります。
　等号　=　のとき、軌道は　円になります。
不等号　>　のとき、軌道は楕円で初期状態は最近点になります。
もうひとつの最近点、最遠点についてはエネルギー保存と角運動量保存（面積速度一定）を連立させて計算できないでしょうか？
なお、軌道面はx軸を含みますが、y軸、z軸は含まないので、３次元の運動方程式を立てても座標系の回転が必要になり、見通しがよくありません。

回答No.1

yokkun831

>全運動エネルギーはどのような時に大きくなり、どのようなときに小さくなるか。
>・・・
>とりあえず運動エネルギーの時間変化を調べるべく
>運動エネルギーを求めて時間微分しようとしたのですが、

必要なら時間変化も求めることはできますが，そこまで要求されていますか？
ひとまず，エネルギー保存の式を書いて，全運動エネルギーを座標の関数として表したらどうでしょうか？両質点の距離が最大（最小）のとき位置エネルギーが（最大）最小，全運動エネルギーが最小（最大）になることをいうだけでは不十分なのでしょうか。
後半は，まず重心の運動と重心まわりの相対運動に分けることですね。
重心に対する相対速度が円周方向であること，円運動の方程式を満たしていることが条件となると思います。

補足

そうですね。どこで最大になりどこで最小になるかは、距離が最小か最大かでわかりますよね。

まず運動方程式が立てられないんですよ・・・