共分散についてです

質問

共分散の値が正なら、片方の変数が大きくなるにつれ、もう一方の変数も大きくなる傾向がある。
共分散の値が負なら、片方の変数が大きくなるにつれ、もう一方の変数が小さくなる傾向がある。

これってどのように証明できますか？

回答No.1

jaspachate · ベストアンサー

<x,y> = (1/n)Σ(x-<x>)(y-<y>)
大雑把に言えば（「傾向」というのが大雑把ということですが）、
( x-<x>、y-<y> )は原点を中心に散らばっています。点の数は大きな偏りや特に絶対値が大きいものがなければ大体 x-<x> は y軸の左右で均等に、 y-<y> は x軸の上下で均等に存在します。この掛け算は 正×正または負×負なら結果は正、それ以外は負です。つまり点が第一象限か第三象限にあれば掛け算は正、第二、第四象限では負です。共分散は各象限での和を足したものなので、共分散が正であれば第一象限＋第三象限の絶対値が大きく、第二象限＋第四象限の絶対値が小さい、ということを意味します。つまり大雑把に言えば点の数に差がある、ということです。共分散が負であればその逆の傾向です。
これをまとめると、<x、y>が正なら xとyは正の傾きを持つ(近似的に)直線の周囲に群がっており、直線に沿った拡がりが、直線と直交する方向の拡がりより大きい状態です。負であれば、負の傾きを持つ直線について同様です。
こうした傾向を「片方の変数が～もう片方は～」と表現しているわけですね。
こんなところでいかがですか。

お礼

ありがとうございました！
理解できました。