principal logarithmの訳

質問

識者の皆様宜しくお願い致します。
呼び方についてお伺い致します。

複素数z = cos(θ+2nπ) + i sin(θ+2nπ)において、
でn=0の時の
Log z = log|z| + i arg z
をprincipal logarithm

zそのものの値を
principal value

と定義されています。
恐らく、後者は日本語で"主値"だと推測できますが
前者は日本語での呼び方はあるのでしょうか?
主対数?

回答No.5

totoro7683 · ベストアンサー

>複素数の複素数の冪について
>z,w:複素数とする時、z^wのprincipal valueを
>(z^wのprincipal value)=exp(wLog(z))
>で定義する。

>でいいですかね?

はい、複素数の複素数の冪についてはそれでいいです。
logのときはLogがprincipal value です。

お礼

何度もご説明有り難うございます。

おかげさまで納得できました。

回答No.4

totoro7683

>これから察するにθ+2nπのn=0の時の
arg(z) の値をArg(z)と書くことにすれば
principal logarithmは
log|z| + i Arg(z) の値と定義され、Log(z)と表す。

これでいいです。-Pi<Arg(z)<Piですね。
その例題から見るとprincipal logarithm
という言葉をa principal value of a logarithm
の意味で使っていると思います。

>principal valueは
e^Log(z)の値、言い換えれば、Log(z)の真数のn=0の時の値? つまりn=0の時のzの値??

これは違います。pricipal value という言葉は単独で定義されるものではなく、指数関数、対数関数、べき関数ともに用いられる言葉です。logのときはNo2で書きましたが、べき関数の場合はz^cという関数はz^c=e^(clogz) で定義される多価関数ですが、一価関数e^{cLogz}を主枝といい、主値とは主枝のzに値を代入したものです。指数関数c^zの場合は主枝e^{cLogz}のzに値を代入したものが主値です。
例題で考えますとi^iはz^iにz=iを代入したものと考えて、
（i^zにz=iを代入と考えても良い。）
z^iの主枝はe^{iLogz}でz=iを代入すると、e^(-Pi/2)となります。したがってi^iの主値はe^(-Pi/2)です。
もし対数関数の場合、logiの主値は
ときかれると、Pi/2となります。

お礼

たびたびスイマセン。

多価関数等の知識不足でかなり誤釈しているようです(私)。

> principal valueは
> e^Log(z)の値、言い換えれば、Log(z)の真数のn=0の時の値? つまりn=0の時のzの値??
よくよく考えるとこれは意味不明ですね(笑)。

再度、自分なりに要約しますと

複素数の複素数の冪について
z,w:複素数とする時、z^wのprincipal valueを
(z^wのprincipal value)=exp(wLog(z))
で定義する。

でいいですかね?

回答No.3

ojisan7

principal logarithmという用語はあまり、使わないと思います。(principal value of a logarithmという言い方はありますが・・・）

Log z = log|z| + i arg z　（-π<arg z<π)
は普通、principal branch（主枝）または、principal value（主値）といいます。

>zそのものの値を、principal valueと定義されています。
これは違います。

お礼

ご回答有り難うございます。
とても参考になります。

その本には

[Example] What's the principal logarithm of (-e^2)i ?
[Solution]
Log(-e^2)i=log(e^2)+i(-π/2)=2-(π/2)i

[Example] What's the principal value of i^i ?
[Solution]
e^(iLog i)=e^(i(0+iπ/2))=e^(-π/2)=1/√(e^π)

となっています。
これから察するにθ+2nπのn=0の時の
arg(z) の値をArg(z)と書くことにすれば

principal logarithmは
log|z| + i Arg(z) の値と定義され、Log(z)と表す。

principal valueは
e^Log(z)の値、言い換えれば、Log(z)の真数のn=0の時の値? つまりn=0の時のzの値??

と考えますがこれで正しいのでしょうか?

回答No.2

totoro7683

principal logarithm の日本語訳は対数の主枝（しゅし）
でいいとおもいます。
一般に多価関数F(z)に対し、ある領域で多数あるF(z)の値のうち一つを選び一価関数f(z)をつくり、f(z)が正則となるときf(z)を分枝といいます。
logzは多価関数で、Logz はlogzの分枝の一つですが、特別視して、とくに主枝といいます。Logzの定義域は複素平面から負の実数軸を除いた部分、Log z = log|z| + i arg z　としたときargz のとる値は-Pi<argz <Pi です。
それから主値とはzの値ではなくて、zに具体的な数を代入したとき、主枝Logzのとる値のことです。

お礼

ご回答有り難うございます。
とても参考になります。

その本には

[Example] What's the principal logarithm of (-e^2)i ?
[Solution]
Log(-e^2)i=log(e^2)+i(-π/2)=2-(π/2)i

[Example] What's the principal value of i^i ?
[Solution]
e^(iLog i)=e^(i(0+iπ/2))=e^(-π/2)=1/√(e^π)

となっています。
これから察するにθ+2nπのn=0の時の
arg(z) の値をArg(z)と書くことにすれば

principal logarithmは
log|z| + i Arg(z) の値と定義され、Log(z)と表す。

principal valueは
e^Log(z)の値、言い換えれば、Log(z)の真数のn=0の時の値? つまりn=0の時のzの値??

と考えますがこれで正しいのでしょうか?

回答No.1

Tacosan

1語で表現しなくてもいいなら「対数の主値」がベストかなぁ?
あと, z そのものなら「真数」って言った方がわかりやすいかも.

お礼

何度もご説明有り難うございます。

おかげさまで納得できました。