偏角の原理の証明過程で解らないところを教えてください。

質問

関数f(z)は単一閉曲線Cでかこまれた閉領域Dで有理型であり、C上では正則であって零点をもたないとする。いまf(z)はCの内部に極α1,…,αm,零点β1,…,βnをもつとし、s1,…,smをα1,…,αmの位数、t1,…,tnをβ1,…,βnの位数とするとき、偏角の原理
(1/2πi)∫_cf’(z)dz/f(z)=(1/2π)∫_cdargf(z)=Σ［k；1→n］t_k-Σ［j；1→m］s_j　での証明過程です。

logf(z)は多価関数であるが、その一つの分枝を考えるとき dlogf(z)/dz=f’(z)/f(z) となることから
(1/2πi)∫_cf’(z)dz/f(z)=(1/2πi)∫_cdlogf(z)
logf(z)=log|f(z)|+iargf(z)においてlog|f(z)|はzがC上を一周しても変わらないので、logf(z)の変化量はiargf(z)の変化量に等しい。これより最初の等式
(1/2πi)∫_cf(z)dz/f(z)=(1/2π)∫_cdargf(z) がでる。以下…とあるのですが、疑問点は、「log|f(z)|はzがC上を一周しても変わらない」の箇所です。

例えば複素平面上で0を原点とし半径1の単一閉曲線C上をzが一周するのなら|f(z)|が変わらないのは解りますが、より一般的な正円でない単一閉曲線C上をzが一周してもlog|f(z)|は変わらないのでしょうか？なぜなのか教えてください。

それとも証明文はlogf(z)の各分枝は定数の差しかないから、logf(z)の変化量は定数分の差すなわちiargf(z)の変化量に等しい。といっているのでしょうか？

質問が解りづらい文章ですみませんが、宜しくお願いします。

回答No.1

eatern27

この辺りの事には疎いのですが、

Cをぐるっと一周した時に、
logf(z)の変化量を考えると、log|f(z)|は変化していないので、logf(z)の変化量＝iargf(z)の変化量となる。
(一周する過程では、log|f(z)|の変化量は０ではないでしょうが、一周し終われば、log|f(z)|の値は元に戻る)

式で書けば、∫_c dlog|f(z)| =0という感じの意味ではないでしょうか？

例えば、原点の周りを一周して、元の場所に戻ると、argzは変化するが、|z|は変化しないですよね。これと同じような事だと思います。

(的外れだったらすいません)

お礼

今晩は。ご回答ありがとうございました。

＞例えば、原点の周りを一周して、元の場所に戻ると、argzは変化するが、|z|は変化しないですよね。…。

ここまでは私も同じように考えてみたのですが、式で書けば、∫_cdlog|f(z)|=0 というところに気が付きませんでした。Cauchyの積分定理ですね。それなら一般の単一閉曲線C上でも成り立つわけですものね。ご回答の解釈のとおりだと私も思います。

私の拙い質問文から疑問点を見事に汲み取っていただきありがとうございました。

また宜しくお願いします。