友達に一次関数を教えているのですが

質問

yの増加量/xの増加量=変化の割合
↑こうなるのは何故？　
と訊かれて、上手く答えられませんでした。

どのように説明すればよいでしょうか？

回答No.3

owata-www · ベストアンサー

一次関数を教えているなら、
yの増加量/xの増加量が常に一定であるということが重要です。

一次関数は
ｙ＝aｘ＋ｂ（a、ｂは定数）と表すことができます。
ｘがｘ１→ｘ２になったとき、ｙがｙ１→ｙ２になったとします。
すると、
ｙ１＝a＊ｘ１＋ｂ…(1)、ｙ２＝a＊ｘ２＋ｂ…(2)なので、
(2)－(1)　ｙ２－ｙ１＝（a＊ｘ２＋ｂ）－（a＊ｘ１＋ｂ）＝a＊（ｘ２－ｘ１）　となります。
よって、（ｙ２－ｙ１）／（ｘ２－ｘ１）＝a …一定　となります。
つまり、yの増加量/xの増加量が常に一定であるということが言えます。

ちょっと厳密にやると、ｘの増加量をΔｘ、ｙの増加量をΔｙとおくと
ｙ＋Δｙ＝a（ｘ＋Δｘ）＋ｂに、ｙ＝a＊ｘ＋ｂを代入して
（a＊ｘ＋ｂ）＋Δｙ＝a（ｘ＋Δｘ）＋ｂ
→Δｙ＝a＊Δｘ→Δｙ／Δｘ　＝a…一定　となります。

お礼

>>一次関数を教えているなら、
yの増加量/xの増加量が常に一定であるということが重要です。

大事なことをわすれていました。
とても丁寧でわかりやすい説明ありがとうございました。

回答No.5

i7010_man

まずグラフを教えてみてはどうですか？
　1次関数で重要な所は、「同じ割合で増えること」です。
比例も1次関数なので、そこから考えます。　
比例のグラフは「原点を通る直線」でした。
　たとえば原点から数えて、横に2進むと縦に3進んだところに点があったとします。横に4進むと、縦に6進んだところにも点があります。これが、「同じ割合で増える」ということ。このときに、
比例定数のａは、3/2（2分の3）　になっていることがわかります。
　横に2進む⇒ｘが2増えた、ということで、
　縦に3進む⇒ｙが3増えた、ということです。それを分数にしたら、
「ｘの増加量に対するｙの増加量の割合」が表せます。←これが変化の割合です。
　横に対して縦はどれだけ増えるか　なので、6/4でも同じことです。
　「変化の割合が一定である」っていう言い方をします。　

1次関数でも、aはこのときの割合を表します。
1次関数もグラフが途中で折れ曲がったりはしないので、変化の割合は常に同じで、ａの値になります。だから、
　(ｙの増加量）/（Xの増加量)＝変化の割合→ａの値　　になります。

お礼

丁寧な説明ありがとうございました。
「何でそうなるの？」と訊かれると混乱してしまい、肝心なことを忘れていたようです。

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

kouji_124

他の方が仰っている様にそう定義したからとしかいえませんが、ざっと解説すると以下の様になります。

「変化の割合」とは、ＸもしくはＹを基準にした場合、もう片方がどれぐらい変化するかですが、通常、基準はＸ側で取りますのでＸが「１」増減した場合にＹがどれくらい増減するかをあらわした物です。

「yの増加量/xの増加量」が何故、Ｘが１増減した場合のＹの変化量になるかというのは「比率」の計算をすれば解ります。
比率の計算を習っているか明かりませんが、Ｙの変化量を「Ｚ」とした場合以下の計算式が成り立ちます。
Ｙ：Ｘ＝Ｚ：１
Ｙ＝ＸＺ
Ｙ／Ｘ＝ＸＺ／Ｘ
Ｙ／Ｘ＝Ｚ
このことから、Ｙの変化量Ｚを「変化の割合」とした時に、「変化の割合」＝「yの増加量/xの増加量」となるわけです。

お礼

比率を使うのは思いつきませんでした。
わかりやすかったです。

ご解答ありがとうございました。

回答No.2

R_Earl

そう名付けたからです。

「トマトやリンゴの色」を『赤』と名付けました。
「空にある光り輝くもの」を『太陽』と名付けました。
それと同じで、「xが増える量に対し、yが増える量の割合(yの増加量/xの増加量)」を
『変化の割合』と名付けたんです。

お礼

「yの増加量/xの増加量」
これを計算すると どうしてxが1増えたときのyの増加量になるのか、と訊かれて「そう定義したから」と答えるのはどうなんでしょう。

もしかしたら教えている自分が一次関数についてよくわかっていないのかもしれませんね。
ご回答ありがとうございました

回答No.1

proto

変化の割合を
　　変化の割合 = yの増加量/xの増加量
と定義したから。
または、「yの増加量/xの増加量」に「変化の割合」という名前をつけたから。

「変化の割合」の意味としては、『今の状態からxを1だけ増やしたら、yはどれだけ増えるか』という数値、と捉えることが出来る。

何故と問われても、そう定義したからとしか答えようがない。
それよりも「変化の割合」の意味を理解する方が大切だと思う。

お礼

「yの増加量/xの増加量」
これを計算すると どうしてxが1増えたときのyの増加量になるのか、と訊かれて「そう定義したから」と答えるのはどうなんでしょう。

もしかしたら教えている自分が一次関数についてよくわかっていないのかもしれませんね。
ご回答ありがとうございました