置換、部分積分の証明です。

質問

数学IIIの置換積分、部分積分の証明の仕方が知りたいです。何かいい本をご存知の方いらっしゃいませんか？教科書にはまったく載っていないので。

回答No.3

gef00675 · ベストアンサー

＞教科書にはまったく載っていない
　そんなはずはない。どんな教科書でも（問題集は別ですよ）、公式だけかかげて、理由はいわないからこれを覚えろなどとは、いっていないはずです。そんな本があったとしても、国の検定にパスしないから、高校で使われることはありません。
　もし、あなたがそう感じるなら、見落としです。置換積分、部分積分がはじめて出てきたページをみてごらんなさい。ただ、あまりにも当たり前すぎることだから、軽く書いてあるでしょうから、それが証明になっていることに、あなたが気づいていないだけです。
　本当に、説明が何も無いなら、その教科書の書名と出版社を教えてください。

補足

すみません、フルで入院してました。
僕が書いていないといったのは、高校生のとき、置換積分、部分積分
のグラフでの証明をしてくれた先生がいたのですが、その証明を失念してしまったもので。。。そういうことを証明していないなあ、と考え、投稿したしだいです。

回答No.4

gef00675

積の微分公式
d/dx(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
をx=aからbの範囲で積分することで、
f(x)g(x)=∫f'(x)g(x)dx+∫f(x)g'(x)dx
移項して、
∫f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-∫f(x)g'(x)dx
とするのが部分積分の式の証明。

y=f(x),z=g(y)の合成関数z=g(f(x))の微分公式
dz/dx=(dz/dy)(dy/dx)
をxについて積分して、
z=∫(dz/dy)(dy/dx)dx
これをf(x),g(y)を使って書き直すと、
g(f(x))=∫g'(f(x))f'(x)dx
これが、置換積分の式。

証明はこれだけだが、これらの公式の使い方は、自分で練習問題を解かない限りわからないので、教科書を読んで十分に練習をしておく必要がある。

たとえば、下記URLにも説明がある。

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node39.html

お礼

大変遅くなってしまって申し訳ないです。
実は、回答を締め切ったとき、あなたに良回答をつけたと思ったのですが何らかの手違いで、そうなっていないことに今気づきました。
丁寧に回答していただいたのに、レスも何もないい状態だったのでしょうか？もしそうだとすると申し訳ない気持ちでいっぱいです。
大変遅くなりましたが、本当にありがとうございました。

回答No.2

owata-www

このようなことに限らず、基本的に高校の数学の勉強は参考書を用いるべきです。参考書にはだいたいしっかり書いてあります（正直、教科書にものってた気がするんですが…）。本屋に行ってわかりやすそうな本を探すのが一番かと

回答No.1

Tacosan

「積分」は「微分」の逆操作とみなせますね.
合成関数の微分の逆操作が置換積分, 積の微分の逆操作が部分積分.