部分積分

質問

教科書を読んでも部分積分のやり方がいまいち分かりません・・・。
どなたか簡単に説明していただけないでしょうか？お願いします。

回答No.1

springside · ベストアンサー

私は言葉で覚えています。

∫fgdx = Fg - ∫Fg'dx

なので、右辺を、

どっちかの積分、もとの
↓
マイナス
↓
どっちかの積分、どっちかの微分

といった感じです。

もちろん、
・一方（上のf）は、積分が簡単にわかること
・もう一方（上のg）は、微分すると簡単になること
が条件です。
（例えば、f=sin(x)、g=x）

回答No.2

ruim

まずｆ、ｇが関数とすると微分の公式で
　　(fg)'＝f'g＋fg'
というのがありますよね。これを両辺積分すると
　∫(fg)'dx＝∫(f'g)dx＋∫(fg')dx
⇒ fg ＝∫(f'g)dx＋∫(fg')dx
⇒∫(f'g)dx＝fg－∫(fg')dx　
というのが部分積分法の証明になります。
ここでf'は積分を、gは微分をすることになるので、部分積分するものは
(積分しやすい関数)×(微分しやすい関数)
の形をしているものが好ましいです。
例えばxcos(x)を部分積分するとします。xを微分する方、cos(x)を積分する方にすると、
∫xcos(x)dx＝xsin(x)－∫sin(x)dx
＝xsin(x)＋cos(x)＋C　(Cは積分定数)
となります。
log や xの～乗は微分の方にした方がいいです。逆に三角関数や指数関数は積分の方にした方がいいです。

お礼

とても分かりやすい説明ありがとうございます！
助かりましたｍ（＿ ＿）ｍ