積分の歴史についての疑問です

質問

高校で数学を勉強してるときに思ったんですが、ある式が与えられて積分せよといわれたとき、いろいろなとき方があると思いますが（例えば置換積分や部分積分など）、どんなやり方を使っても積分できない式とかってのはあるんですか？また、これらの解き方ってのはだんだん開発されていったんだと思いますが、積分の技術が未熟だった頃は、解けない式とかもいっぱいあったんでしょうか？

回答No.1

noname#191689 · ベストアンサー

高校で習うのはリーマン積分というものです。ですから、この積分によって定義できないものは、解くことができません。
　この他に積分の種類としてはルベーグ積分、スティルチェス積分など、いろんなものがあり、それぞれ定義される範囲内でしか解くことはできません。

微積はニュートンや(名前を忘れました。ライプニッツだったかな？)別の学者が17世紀頃に見出した方法ですが、それ以前については、11世紀のヨーロッパでは位取り記数法がほとんど知られておらず、15世紀ごろに筆算が広まっていった、16世紀頃に3次・4次方程式の解法の発見、という状況だったようです。

お礼

ありがとうございました。定義内で解けると言うことですね。それぞれの積分について調べてみたいと思います

回答No.7

string

下の補足です。

数学はそもそも物理のためにあるわけですが、そのためには具体的な値が求まらなければ話になりませんし、それで十分なわけです。
例えば、「x^2=2」を解けと言われて、解は「x=√２」です、と自身満々に答えても、「√２」の値がわからなかったら話になりません。「√２」の値の計算法をマスターして、「√２=1.41421356...」と求めて初めて問題に答えたことになるわけです。
もっと直接的には「x^2=2」を逐次近似法で解く方法を身につけて、はじめから「x=1.41421456...」と答えればよいわけです。

積分も同じことで、数値計算できる方法さえ身につければ、実用上困ることはありません。しかし、積分できない関数にぶちあたったときに、新しい関数を新たに導入するのは無駄というわけではありません。新たな関数を導入することによって、他の積分と関係づく可能性があるからです。
たとえ話しで説明します。直径が1の円の円周を表すπを導入すれば、球の体積や表面積までもπを使って表すことができることをアルキメデスは発見しました。このようにあらたな定数を導入すれば、他のいろいろな量もこの定数を使って表現できるようになります。
同様のことが積分でも言えます。新たな関数を導入することによって、多くの積分の値が新たに導入した関数を使って書き表すことができるようになります。
そして、それは面白いことです。

お礼

具体例が分かりやすかったです、勉強になりました、ありがとうございます。

回答No.6

string

今までに回答された方の内容と一部重複してますが、、、。

そもそも歴史的に積分とは、円錐の体積が円柱の3分の1であることを証明するためにエウドクソスによって「発明」されました。まず、円錐を小さな断片に分けて、その断片の体積を求めます。その断片の体積を全て足し合わせれば円錐の体積の近似値が得られます。円錐を無限に細かく分ければ真の値が得られます。いわゆる区分求積法です。

その後、エウドクソスに影響を受けたアルキメデスが、その方法をまねして、円周の長さ、球の表面積、球の体積、回転放物線、回転楕円体の体積などを求めます。

1600年ころ、カバリエリ、ウォリス、フェルマーらが区分求積法をさらに発展させてxのn乗の面積が求められました(ただし、1/xだけは求めることができなかった)。

以上のように積分の歴史は古く、その長い間は区分求積法のことでした。
三角関数も指数関数も区分求積法で積分できます。
しかし、区分求積法によって面積を求める計算は、複雑な関数になると大変になります。

その後、1665-1667年にニュートンが面積の計算が、微分の逆の操作であることに気づきます。そして、積分が「微分の逆」であるという性質を利用すると簡単に計算できることを発見します。これで、だいぶ楽になりました。

しかし、置換積分や部分積分を使っても、その当時知られていた関数を使って表すことのできない積分は山ほど存在します。
例えば、楕円の周の長さを求めようとすると、すぐに積分できない関数（既知の関数で書き表すことができないという意味で）にぶちあたります。

積分のこの欠点を熟知していたのは、当然というべきか、微積分の開発者のニュートン自身でした。ニュートンはそのような場合でも、「級数展開」という方法を用いて、どんどん積分の値を計算しました。例えば、上に挙げた楕円の周の長さを計算しています。

taurus4さんがおっしゃっている「積分できない」とは単に既知の関数（xのn乗、指数関数、三角関数やその逆関数）を使っては書けないということだと思いますが、それはあまり問題ではありません。そういう場合でも級数展開を使って、積分の値が計算できるからです。（←実際には単純な級数展開では値を計算できない場合も山ほどあるのですが、その場合でも様々なテクニックを使えば計算可能になる場合がほとんどです。）

ニュートン自身が微積分について解説した本は「流率法（←微積分の意味）と無限級数」というタイトルです。なぜならば、ニュートンは微積分と級数展開とは切っても切り離せない関係と考えていたからです。大学で習う指数関数や三角関数の級数展開は全てニュートンが発見したものです。

高校では級数展開による積分の値の求め方を習わないので、「積分できない関数がでてきたらどうしよう、、、」という不安が生まれてしまうんだと思います。

話が長くなりましたが、まとめると、積分できない関数は山ほどあるが、級数展開によって値を求めることができるので問題ない（場合が多い）、ということになります。

お礼

良く理解できました。ありがとうございます。級数展開って始めて聞いたんで自分で調べてみたいと思います、それでほとんど積分できるってのは驚きでした。どうも

回答No.5

noname#108554

>積分の生い立ちについて聞きたいんですが、
>積分って言う考え方の最初ってのは、面積を求めることが目的だったと聞きましたが
>区分求積法の発明に始まったんでしょうか？

まあ、そうです。
面積を求める技術は古代エジプトやメソポタミアの時代から、ありましたが、
体系的・理論的に求めようという試みはギリシアから始まると考えていいと思います。
で、積分ですが、現代的な積分は、
まず、グラフというか関数という概念がないと定義できませんよね。
ギリシアで扱っていたのは、球とか円錐とかがんばって2次曲線までです。
座標という概念を導入したのはデカルトだと言われています。（おそらく先駆者はいたと思いますが。）

なので、グラフに囲まれた面積を求める技術はそれ以降、
もっと言うとニュートン・ライプニッツ以降ということになります。

>それから区分求積法でも解けないものについては、
>置換積分など色々なものが発明されて言ったと
>言う認識でいいんでしょうか？

区分求積法は積分を数値的に求めるアルゴリズムで、
下に書いているような変なものでなければ、そして精度を問題にしなければ、一応どんな定積分にも適応可能なはずです。

置換積分は、不定積分を求めたり、厳密に定積分を行うために使われるものですから、
そもそも、区分求積法とは用途が違います。

>コンピュータを使えばどんな式でも積分できるって事でいいんでしょうか？

高校生には少々難しいですが、
例えば、f(x)=0(if x=無理数)
=1(if x=有理数)
みたいな関数も積分できます。（ルベーグの意味で）
ただし、これをコンピュータでもって積分というのは無理でしょう。
コンピュータによる数値積分の基礎は、
区分求積法にあるからです。

お礼

わかりました。理解が深まりました、ありがとうございます

回答No.4

nubou

「解析的に解く」とはどういうことでしょうか？：

つまり簡単な関数で表現できるかどうかと言うことです
べき級数の形で解いた場合には解析的に解いたと言いません
しかしべき級数だからといって何も問題有りません

コンピュータを使えばどんな式でも積分できるって事でいいんでしょうか？：

積分可能なものはすべて数値積分できます
言うまでもなく発散したりして積分不可能なものは勿論駄目です

置換積分や部分積分で解析的に解ければそれに越したことはないが
実用に供する場合には級数系でもデメリットはありません
それにこだわるのは遊びの数学です
頭の体操ぐらいにはなるでしょう
数学は実用に供されて初めてその存在意義があるのです

お礼

ありがとうございます。勉強になりました

回答No.3

nubou

解析的に積分ができるかどうかは興味はあるが重要ではありません
積分可能かどうかは重要ですが解析的に解く必要はありません
勿論溶ければそれに越したことはないけれど大したことではないのですよ
解析的に積分できない関数の方が遙かに多いのですからこだわる必要はありません
積分可能な関数はすべて数値積分できますから
実用には数値積分をすればいいのです
昔は大型コンピュータ今は家庭用コンピュータでいくらでも積分できます

補足

ありがとうございました。とにかく、コンピュータを使えばどんな式でも積分できるって事でいいんでしょうか？
すみませんが「解析的に解く」とはどういうことでしょうか？高校生が置換積分などのテクニックを使って問題を解くみたいな手計算での計算の仕方のことでしょうか？

回答No.2

noname#108554

ガウス積分や楕円積分は初等的な関数（exp、三角関数、およびそれらの逆関数の有理式）でかけないことが知られています。

ガウス積分
∫exp(-x^2)dxみたいなやつ

楕円積分（最も一般的な定義）
P(x,y)を2変数有理式（例えば、（x+y）/（x^2+2xy）みたいなやつ）とします。
また、R(x)を重解持たないを3次、または4次の多項式とします。
そのとき、∫P(x,√R(x))dxを楕円積分といいます。
この名は、楕円の周を求めるときにこのタイプの積分がでてくることに由来します。

考えてみれば、logや逆三角関数も積分により定義できるわけで、
その逆関数をとったものが、expや三角関数になるという解釈も可能です。
例えば、logx=∫[1,x]1/xdxですから。
では、これを拡張して、楕円積分にも逆関数を考えたら？
という道を選択したのが19世紀のヤコビ・アーベルといった数学者でした。（楕円関数論）

ちなみに、定積分になってしまいますが、
∫[0,-∞]sinx/xdx
みたいなものは、複素関数論を用いて、計算できます。
もっともこの積分は、ルベーグ積分の意味では、
値を定義できませんけど。

補足

ありがとうございました、勉強になります。

積分の生い立ちについて聞きたいんですが、積分って言う考え方の最初ってのは、面積を求めることが目的だったと聞きましたが区分求積法の発明に始まったんでしょうか？それから区分求積法でも解けないものについては、置換積分など色々なものが発明されて言ったと言う認識でいいんでしょうか？どなたでもいいんで教えて下さい。
でもこれって、リーマン積分にかぎっての質問ってことになるんでしょうかね？高校卒業程度の知識しかないので