積分の計算

質問

V=π∫[0,1.5] {4+√(2.25-x^2)}^2dx
この式の解き方がわかりません。
三角関数を用いなければ解けないでしょうか？
すみませんが教えてください！

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#3です。
A#3の補足質問について
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4548144.html
のA#4に積分の仕方は書きましたが、その積分の上下限を差換えるだけです

>V2=8π∫[0.5,1.4] √(2.25-x^2)dx

---------------
>I=∫8√(2.25-x^2)dx
x=1.5sin(t)と変数変換すると dx=1.25cos(t)dt
I=8∫(1.5^2)(cos(t))^2 dt
=9∫（1-cos(2t))dt
=9{t-(1/2)sin(2t)}+C
t=arcsin(x/1.5)を代入して元のxに戻すと
I=9arcsin(x/1.5)-9(x/1.5)√{1-(x/1.5)^2}+C
=9arcsin(2x/3)-9(2x/3)√{1-(2x/3)^2}+C
=9arcsin(2x/3)-4x√{2.25-x^2)+C
--------------
これを適用して
V2=8π∫[0.5,1.4] √(2.25-x^2)dx
=π[9arcsin(2x/3)-4x√{2.25-x^2)] [0.5,1.4]
=π[{9arcsin(2.8/3)-5.6√{2.25-1.4^2)}-{9arcsin(1/3)-2√{2.25-0.25)}]
≒π[9{arcsin(2.8/3)-arcsin(1/3)}-0.1872652}
≒π[7.7737626-0.1872652}
≒7.5864974π
≒23.83368451

お礼

詳しく計算過程を書いていただき、本当にありがとうございます。
大変助かりました！感謝いたします。

回答No.4

old_sho

#1ですが、書き出したついでみたいですが。
置換積分で、x=1.5sin t　と置いてしますと、結局
∫(cos t)^2dt
の積分になりますね。
これを倍角の公式で二乗を解消すれば出来るでしょう。

この計算からすれば、円の図で考える方がたやすいでしょうが。

お礼

解き方を理解することができました。
大変ありがとうございます！

回答No.3

info22

>V=π∫[0,1.5] {4+√(2.25-x^2)}^2dx
{4+√(2.25-x^2)}^2
=16+(2.25-x^2)+8√(2.25-x^2)=18.25-x^2+8√(2.25-x^2)
なので
V=V1+V2
と分割して
V1=π∫[0,1.5] (18.25-x^2)dx
と
V2=8π∫[0,1.5] √(2.25-x^2)dx
に分けて積分するのが通常の方法です。
V1は普通に積分できますのでやれますね。
V1=π[18.25x-(1/3)x^3] [0,1.5]≒82.467

V2の積分は半径1.5の円の1/4の面積をあらわしますので
V2=8π*π(1.5^2)/4=4.5π^2≒44.413

補足

ありがとうございます！

Ｖ2の求め方ですが、
∫が[0.5,1.4]のように
半径1.5の何分の１かわからない場合の
計算方法はどうしたらよいのでしょうか？
すみません、教えてください！

回答No.2

owata-www

y=√(2.25-x^2)
とおくとx^2 +y^2 =2.25になります。これが一番分かりやすいかと。

補足

ありがとうございます！
x^2 +y^2 =2.25を式に代入したらいいのでしょうか？

回答No.1

old_sho

2乗を展開すると、結局∫[0,1.5] {√(2.25-x^2)}dxの計算が難しいものとして残りますね。積分しなければならないなら、三角関数ですね。値が出ればよいなら、円の面積1／4ですね。

補足

ありがとうございます！
積分する場合だと、
∫[0,1.5] {√(2.25-x^2)}dxの計算は
三角関数を使ってどのようになるのでしょうか？
sin^-1を使ったりするのでしょうか？

すみません、お願いします！