俯角のあるベクトル強度の求め方

質問

ご質問いたします。
X-Y平面上のベクトル（原点を始点とします）の角度θを計測するセンサーがあります。
それは、X軸とY軸に投影された値DX、DYから、θ＝arctan（DY/DX）で求まります。
今ここで、Z軸を導入して、センサーのXY平面が傾いた場合にどれほどの誤差が出るかを求めたいのです。
ここで、XY平面がX軸を中心に角度φで回転した場合、DYの強度にcosφをかけて、
θ＝arctan（DY*cosφ/DX）となると思いますが、
たとえば（-1,1）と（1,-1）を通る直線を軸としてφ回転した場合のθはそのように考えればいいのでしょうか？
また、たとえばθの最大誤差に対する俯角φの寄与を考えた場合、
上記二つの場合を考えて、そのうちの最大をとればよいのでしょうか？
それとも、X軸を中心に回転させた場合だけ考えればたりるのでしょうか？
よろしくご教授願います。

回答No.2

ametsuchi

いい忘れてました。

１）私は「経験者」と言ってもセンサなどは無縁で、３D幾何計算ライブラリーなどを作っていたに過ぎません。

２）「回転」という行列は直交行列であり、逆行列＝転置行列です。

３）「局所系は一意に決らない」といいましたが、局所Z軸に続き、局所x軸を全体x,y,z軸の内、局所Z軸と平行でない、たとえば一番角度のある軸を選択し、外積計算をして、局所、x,y軸を決めることができます。

４）しかし、そんな面倒なことをしなくても、(M^-1)・(R)・(M) を合成すると局所系の取り方に「依存しない！！」一つの行列（＝3行3列）になります。それは、ご自分で計算するなり、座標変換に関する本を読まれれば理解できると思います。

お礼

ご返答ありがとうございました。
行列は、大学の教養課程以来ですので、久しぶりです。
この欄で簡単に補足をさせていただきますと、
２軸のセンサーであるベクトルをはかり、
そのベクトルの向いている方位を計算する場合、
そのベクトルとセンサーの２軸が平行でなくある角度（俯角、仰角）を持つ場合、
その俯角と計算結果の方位との関係はどのような式で表されるか？
ということなのです。逆にいうと、
たとえばその方位が５％までの誤差が許される場合、
センサー平面とベクトルのなす角度がどこまで許容されるか？
といったことを知りたかったのです。
ありがとうございました。

回答No.1

ametsuchi

イマイチ題意が掴めないところがあり、且つ今時間が取れないので不親切な助言になってしまいますが、基本は、

■３次元の座標変換、特に任意軸周りの回転

に他なりません。ダサいながらも、敢えて分かり易く言えば、

１）任意軸をたとえば、局所Z軸とするような座標系を考える。ただしこれは一意には決らない。この局所系のx,y,z軸を行ベクトルに並べた座標変換行列を考える。
（これを「M」とする）

２）全体-->局所座標に変換

３）この局所Z軸周りにφ（または-φ？）回転させる。（局所系内で）

４）M^-1、即ち、Mの逆行列を掛けて元の全体系に戻す。

－－－－－
結局、

■(M^-1)・(R)・(M)

のような形になります。題意を取り違えて回転の方向を間違えているかも知れません。