波の式 ちょ～簡単にわかりやすくお願いします！！

質問

ある本には波の一般式として
ｙ（x.t）=Aexp{i(2πx/λ-2πνt)}・・１
と書いてあったのですが、他の本には
ｙ（x,t）=A sin2π(t/T-x/λ)・・２
と書いてありました。

１式の導出法をお願いいたします。

それと、Ｅ＝mv^2/2 と　E=mc^2 の違いも出来ればお願いいたします。

回答No.4

mesoneer

まずは波の方から

オイラーの公式というものがあります
exp(iθ) = cosθ + isinθ
exp(-iθ) = cosθ - isinθ

この２式から
sinθ = {exp(iθ) - exp(-iθ)} / 2i
みたいな形になりますので、あとは形を合わせるだけ。

虚数であるiが出てくる理由については、
三角関数を指数関数で表そうとするとどうしても出てきてしまう
というくらいの答えしかできません。
（私が詳しくないだけで、もしかするとオイラーの公式を深く見ていけばそこに答えがあるのかもしれませんが）

次に、エネルギー式に関して

E = mc^2
E = hc/λ
の２式に関連があるのでは？ということですが、その疑問はもっともだと思います（私も以前気になって調べました）

結果から言うと、
E = mc^2 は静止質量を持つ物質について成り立つ式
E = hc/λ は電磁波について成り立つ式
となります。
なので、光のエネルギーを E = mc^2 で出そうとしても
光の質量がゼロなので E = 0 となり矛盾してしまいます。
一見関連ありそうな式ですが、それぞれ適応できる範囲が限られているということですね。

回答No.3

BookerL

波の式は、最初に高校などで出てくるときは ２ の sin を使う形が普通でしょう。

　１ の式は複素数になりますが、実在の波では媒質の変位は実数ですから、この式の実数部分が波を表すと考えていいでしょう。exp(iθ) ＝ cosθ ＋ ｉsinθ ですから、三角関数の変化と結局は同じことになります。

　引数部分の形が少し違いますが、１式の (2πx/λ-2πνt) は 2π(x/λ-νt) となり、振動数νと周期Ｔは逆数ですから、２式の 2π(t/T-x/λ) と符号を除いて同じになります。
　符号の違いや sin と cos の違いは、初期条件の違い（どの時点を時刻０とするか）なので、同じ波を表すことになります。

　１ の式の利点は、exp という指数関数が微分しても exp のままで演算操作がやりやすい、ということだと思います。

＞Ｅ＝mv^2/2 と　E=mc^2 の違い

どちらもエネルギーを表す式ですが、前者は運動エネルギーを表し、後者は「質量がエネルギーと等価である」という相対性理論によるエネルギーを表します。

お礼

ありがとうございます！！
詳しく書いてくださったのですが、自分は馬鹿なので、ちょっと理解がきつイッス・・。すいません。。虚数部分は何のために出てくるのでしょうか？
Ｅ＝mv^2/2 ・・３と　E=mc^2・・４ですが、Ｅ＝ｈν・・５の式を表すときに、ν＝ｃ/λとし、Ｅ＝ｈｃ/λ・・６と変形できるそうですが、シュレディンガー方程式を導く際には、３式と５式を用いて導くようなことが、ある本には書かれていました。ゆえに、この二式には関連性があるから、二式のＥを＝で結べるのだろうと思うのですが、5式の変形型の6式にはＣが出てきています。このＣは４式に出てきた光速なので、やはり、４式と５式にも関連性があるのでしょうか？もしそうであるとしたら、3，4式の根本的な考え方の違いに反するような気がするのですが・・。　
　すいません。。結局は、全ての理解が中途半端であり、それが更に難しく考えてしまう原因なのですが・・。もしよろしかったら、お答え願います。

回答No.2

Tacosan

波の式の方は, それぞれの本で波の式がそのように導出されたかを見た方がいいと思う.
エネルギーの方は, E=mc^2 が「質量 m の物質に (質量として) 内在するエネルギー」なので質量エネルギー, E=mv^2/2 は「質量 m の物質が速度 v (≪ c) で運動するときに (質量エネルギー以外で) 持つエネルギー」なので運動エネルギーですな. Einstein 的には E^2 = m^2c^4 + m^2p^2 の方がいいかも.

お礼

ありがとうございました！！
ただ、BookerLの回答へのお礼に書いたのですが、やはり、この二式はいまだになぞなのです。。。馬鹿ですいません。。

回答No.1

debukuro

運動エネルギーの部分だけ
mc^2　は静止系から見た運動系の時間経過から導かれた式です
詳しくは相対性理論　アインシュタイン　岩波文庫

mv^2　はSI単位の定義です
詳しくはSI単位表を見てください

お礼

ありがとうございます。
違いは、よくわかりました！！