定在波の条件式の解き方

質問

y1= Asin(wt-kx)
として
x=L の位置に垂直な壁を置き、x軸の負向きに進行する反射波y2を生じさせた。
するとx>Lには波が存在しなくなった。
x=Lでは入社した波y1と反射波y2が打ち消し合って（y1+y2）が常に0であるとして。反射波を求めよ

という問題で

二倍角の公式を使って合成波を

y(x,t) = y1+y2

= 2A cos(-kx -(φ/2))sin(wt+(φ/2))
という式の結果を計算できました。
そこから

y(L,t) = 2Acos(-kL-(φ/2))sin(wt+(φ/2))
として時間によらず振幅がゼロになるので

-kL-(φ/2) = π/2

として結果　φが-2kL-π
y2=Asin(wt+kx-2kL-π)

までちゃんと導出できたのですが。

その次の問題で
更に上記の場合、x=0 でも常にy1+y2=0となるためのLの満たすべき条件を求めよという問題がわかりませんでした。

解説では

y(x,t) = 2Acos(-kx+kL+π/2)sin(wt+φ/2)
と条件からなる

と書いてありそこから0を代入すると

L=nπ/k

と書いてあったのですがここで質問です。

なんで条件から

y(x,t) = 2Acos(-kx+kL+π/2)sin(wt+φ/2)
がぱっとでてくるのか

そして最後の導出はそこから

kL+π/2 = nπ+π/2

で答えを求めているのですが
問1では

条件式にn　を用いなかったのに
なぜ問2ではnという定数が用いられているのでしょうか。

このような応用問題まで理解が及ばず悔しいです。ご迷惑おかけしますがご教授お願い申し上げます。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

>なんで条件から
>y(x,t) = 2Acos(-kx+kL+π/2)sin(wt+φ/2)
>がぱっとでてくるの

　y(x,t)= 2Acos(-kx-(φ/2))sin(wt+(φ/2))
これに
　φ＝-2kL-π
を代入しただけです。
　y(x,t)= 2A cos(-kx -(－kL－π/2))sin(wt+(φ/2))
　＝ 2A cos(-kx ＋kL＋π/2))sin(wt+(φ/2))

>そして最後の導出はそこから
>kL+π/2 = nπ+π/2

関数
　y(x,t)=2A cos(-kx＋kL＋π/2))sin(wt+(φ/2))
が、x=0　で、ｔの値にかかわらず　常に０　つまり
　y(0,t)=
　＝ 2A cos(kL＋π/2))sin(wt+(φ/2))＝０
が変数ｔに関する恒等式になっているということです。
この条件は
　cos(kL＋π/2)＝０
であれば良いことを意味しています。
cos関数が０になるためには、その位相
　kL＋π/2
が
　π/2＋ｎ・π　ｎは適当な整数
であれば良いわけです。　
∴　kL＋π/2＝π/2＋ｎ・π　

ところで、
　y(x,t)=2A cos(-kx ＋kL＋π/2))sin(wt+(φ/2))
では、初期位相部分に、整数を含むような表現が無いことに不安をお持ちのようですが
三角関数に特有な性質から、位相部分には、２ｎπ　だけの任意性がありますから
　y(x,t)=2A cos(-kx ＋kL＋π/2＋２ｎπ))sin(wt+(φ/2＋２ｍπ))
などと書いても一向に構わないのです。しかし、２つの式を見較べてみればわかるように
下の式は余計なことを書いているだけで、２ｎπや２ｍπの部分はわざわざ書く意味が無いのです。数式は、冗長でなくスッキリしたものである方が良いでしょう。
一方、
　kL＋π/2＝π/2＋ｎ・π　
の方は、長さＬに関する情報を含む式で、ご覧のとおり、ｎが幾つかであるかによって、Ｌの値は違ってきます。当然のように、ｎを無視することなんてできません！

お礼

長い質問にもかかわらずご親切にかつ、内容理解のために各質問に対しての回答解説だけではなく補足までしてくださり本当にありがとうございます。
ご指導を賜りましたことを今ノートに写しています。
本当につまずいてパニックだったところを大変わかりやすい説明のお陰で内容理解に近付きました。

本当にありがとうございます。
今後ともご教授の程、よろしくお願い申し上げます。