とあるゲームの優勝確率を求めたい。

質問

こんな問題を考えています。

２人以上で遊べるゲームがあって、Ｐ1～Ｐnのｎ人が遊ぶとします。
ゲームをすると、優勝～ｎ位までが定まります。
このゲームには引き分け(同順位)はありません。

また、Ｐ1とＰ2の2人が「2人だけで」ゲームをした場合に、Ｐ1がＰ2に勝つ確率をＥ12とします。
引き分けはありませんから、Ｅ12＋Ｅ21＝１です。

さて、ｎ人でゲームをした場合に、Ｐ1が優勝する確率Ｖ1はいくらでしょうか？
最初、おバカにもＶ1＝Ｅ12×Ｅ13×…Ｅ1nとか考えていたのですが、Ｐ1とＰ2の順位の上下が、他の参加者との順位の上下に影響を及ぼすので当然ＮＧです。ΣＶn＝１にもなりませんし…。

まったくの数学の素人が思いついた問題なので、答えがあるかどうかもわかりません。

分かる方、アドバイスできる方がいらっしゃれば、ご教授いただければと思います。
よろしくお願いします。

回答No.6

gef00675 · ベストアンサー

＃５の続きです。指数分布を仮定して計算してみました。

いくつか条件が必要なので、問題を次のように設定してもよろしいでしょうか。
「n人が競走して、もっとも走破タイムの短い人が優勝とする。各プレイヤーPj (j=1,2,...,n)の走破タイムXjは独立で、平均が1/kjの指数分布とする。このとき、２者の勝敗の確率からkjを決定し、プレイヤーP1が優勝する確率を決定せよ」

回答＃４の考え方によりますと、Xjが指数分布にしたがうことから、
　Fj(x)=P[Xj≦x]=1-exp(-kj*x)
　dFj/dx=kj*exp(-kj*x)
よって、二人で競争したときにP1がP2に勝つ確率は、
　E12＝P[X1<X2]=∫(1-F2(x))dF1(x)=∫exp(-k2*x)*k1*exp(-k1*x)*dx
　　=k1*∫exp(-(k1+k2)*x)*dx
　　=k1/(k1+k2)
∴　k2/k1=(1-E12)/E12=E21/E12
（回答＃４とは勝敗の定義が逆になっているので、確率は∫(1-F2(x))dF1(x)になります）
同様にして、kj/k1=Ej1/E1j (j=1,2,...,n)
P1が優勝する確率は
　V1＝P[X1<X2かつX1<X3かつ…X1<Xn]
　　＝∫(1-F2(x))(1-F3(x))…(1-Fn(x))dF1(x)
　　＝∫exp(-k2*x)…exp(-kn*x)*k1*exp(-k1*x)*dx
　　＝k1/(k1+k2+…+kn)
　　＝1/(1+k2/k1+…+kn/k1)=1/(1+E21/E12+E31/E13+…+En1/E1n)
となりました。n=3の場合の式を書いてみると、
　V1=1/(1+E21/E12+E31/E13)
=E12*E13/(E12*E13+E21*E13+E31*E12)
となって、回答＃５の式は当たらずといえども遠からずだったことがわかりました。

　指数分布に支配される現象は、結果が全く偶然に起るようなものですから、実際にどこまで当てはめられるかは、大いに検討の余地があります。実際、競走レースでは指数分布ほどばらつかず、プレイヤーの走破タイムにあまり差がないような気がします。ただ、上記の計算の過程をみてみると、問題に示したような条件設定をする限り、パラメータが一つの分布でないと、答えが出せそうにありません。一般の分布（正規分布など）で計算するには、１対１の勝敗結果だけでなく、もう少し各プレイヤーの成績に関する情報がほしいところです。

お礼

入れ違いでさらにすばらしい回答をいただいてしましました。

> 設定してもよろしいでしょうか

よろしいです。よろしすぎます。
懇切丁寧に説明いただいて、本当に感謝の言葉もありません。

> 実際、競走レースでは指数分布ほどばらつかず、プレイヤーの走破タイムにあまり差がないような気がします。
> 一般の分布（正規分布など）で計算するには、１対１の勝敗結果だけでなく、もう少し各プレイヤーの成績に関する情報がほしいところです。

全くおっしゃる通りです。
現実的には、出来るだけ少ない情報から
できるだけ正確な確率を得たいという二律背反的な
要求がありまして、gef00675さまが提示した仮定が
最終的に妥当であろうと考えております。

質問者の他愛もない疑問に丁寧にご回答くださり、
ありがとうございました。
改めて感謝申し上げます。

補足

質問に対して、想像以上の成果が、
皆様からの回答という形で得られましたので、
この辺で回答を締め切ります。

丁寧にご回答くださったおふた方に、
ポイントを付与いたします。
ありがとうございました。

回答No.5

gef00675

＃４です。補足です。別の考え方をしてみました。
例えば、n=3の場合で考えてみると、根本的な確率は
　P[X1>X2>X3], P[X1>X3>X2]
　P[X2>X1>X3], P[X2>X3>X1]
　P[X3>X1>X2], P[X3>X2>X1]
の６通りで、いま知りたいのは、
　V1=P[X1>X2>X3]+P[X1>X3>X2]
　V2=P[X2>X1>X3]+P[X2>X3>X1]
　V3=P[X3>X1>X2]+P[X3>X2>X1]
条件は、これらの総和が１でなければならないことと、２者の勝敗の確率
　E12=P[X1>X2>X3]+P[X1>X3>X2]+P[X3>X1>X2]
　E23=P[X2>X3>X1]+P[X2>X1>X3]+P[X1>X2>X3]
　E31=P[X3>X1>X2]+P[X3>X2>X1]+P[X2>X3>X1]
ですから、未知の確率６つに対して、条件は４つなので、確率が１通りに決まらないという状況です。

ですが、問題に対して必要な情報が不足しているというのは、実際にはよくあることなので、なんらかの条件を追加することを考えましょう。
　V1=P[X1>X2かつX1>X3]と表せることから、条件付確率を使って
　V1=P[X1>X2]*P[X1>X3 | X1>X2],
と表せます。X2とX3を取り替えても同様に
　V1=P[X1>X3]*P[X1>X2 | X1>X3]
すると、V1はE12とE13の両方に比例しているような関係が見えてきます。そこで、適当な係数k1を使って、
　V1=E12*E13*k1とおいてみます。同様に、
　V2=E21*E23*k2
　V3=E31*E32*k3
ここで、k1,k2,k3に関する情報がないのをいいことに、エイヤ！と、勝手にk1=k2=k3と仮定してしまいます。すると、V1+V2+V3=1の条件から、
　V1=E12*E13/(E12*E13+E21*E23+E31*E32)
となります。これを一般のnに拡張するには、
　V1=E12*E13*…*E1n*k1
とおいて、上と同様にk1を決定すればよいです。
いいかげんな計算ですが、何もわからないよりはましでしょう。

お礼

おおおお…！
素晴らしい、素晴らしいです。
各人が対等な場合の優勝確率1/nも満たしています。
Knが全て等しいという仮定が素晴らしすぎます。

何らかの式によって、確率が近似されることを望んでいたので、
私としてはこれで100％気持が晴れました。

gef00675さん、ありがとうございました！

この場をお借りして、回答してくださった他のおふた方にも
お礼申し上げます。

皆さん、本当にありがとうございました。

回答No.4

gef00675

P1,P2,...,PnのタイムをそれぞれX1,X2,...,X3とします。P1が優勝するとは、X1>X2,X1>X3,...,X1>Xnが同時に成り立つことと解釈し、100ｍ競争のようにプレイヤーが互いに干渉せずに競争すると考えると、X1,X2,...,Xnは互いに独立であると仮定できると思います。　Xk≦xとなる確率をxの関数とみてFk(x)とかくと、P1が優勝する確率は
　V1＝（X1>X2かつX1>X3かつ…X1>Xnとなる確率）
　　＝∫F2(x)F3(x)…Fn(x)dF1(x)
と表せます。V1+V2+…+Vn=1が成り立っていることは、部分積分を繰り返せば確認できます。プレイヤーの実力が対等のときは、F1(x)=F2(x)=…=Fn(x)と考えられますから、
　V1=∫F^(n-1)dF=1/n
という自然な結果が得られます。
　二人で競争したときにP1がP2に勝つ確率は、
　E12＝∫F2dF1(x)
となりますが、一般に、V1はE12,E13,...などの和や積を組み合わせて表すことはできません。ご質問の問題では、もう少し条件を絞り込むこむ必要がありそうです。例えば、特定の分布（たとえば指数分布など）を仮定すれば、何らかの関係で表せる可能性があります。

お礼

間違って回答への補足に書いてしまったので、
改めてお礼を書きます。
ありがとうございました。

補足

丁寧なご回答ありがとうございます。

途中で私がさしはさんだ問題もクリアできていることに
言及いただいて、大変ありがたかったです。

やっぱり、個々の対戦の勝率だけでは、
ｎ人同時プレイのゲームの勝率は求められないんですね…。
もともとは、個々のレーティングから求めようと思って始めた事でした。

分布とは、各人の走破タイムの分布のことでしょうか。
そうであれば、平均ｘ秒でゴールする指数分布などで考えてみたいと思います。

大変ありがとうございました。

回答No.3

arrysthmia

＞ Ｐ1とＰ2の順位の上下が、他の参加者との順位の上下に影響を及ぼす

ばかりでなく、３人目のプレーヤーの存在が、Ｐ1とＰ2の順位に影響を及ぼすので、
そもそも、Ｅが与えられただけでは、ｎ人でゲームをした結果は推測できず、
Ｖの値は決まりません。

補足

回答ありがとうございます。
特殊な条件下とはいえ、自明の回答も存在するのですから、
何らかの前提があれば数式化できないかと考えているのですが、
やはり無理なのでしょうか…。

回答No.2

Kules

No.1Kulesです。
なるほど…
試しに４人で考えて見ました。
Eは省略して書きます。｛1234｝はこの順番になる確率、とお考え下さい。
｛1234｝=12*13*14*23*24*34
｛1243｝=12*13*14*23*24*43
｛1324｝=12*13*14*32*24*34
｛1342｝=12*13*14*32*42*34
｛1423｝=12*13*14*23*42*43
｛1432｝=12*13*14*32*42*43
1が優勝するのはこの６通りなので、足し合わせると、
｛１｝=12*13*14*(23*24+32*34+42*43)
となりました。ここで、()の中身を見てやると、それぞれの項は
・234の中では２が優勝
・234の中では３が優勝
・234の中では４が優勝
を表しています。
ということで、一般化して書くと
N人でゲームを行い、Pnが優勝する確率をVn(N)と表すことにすると、
Vn+1(n+1)=(n+1)1*(n+1)2*(n+1)3*…*(n+1)n*Σ(k=1→n)Vk(n)
V1(1)=1
となります。後はこの漸化式が解ければ答えだと思うのですが、解ける気が全くしません…
力不足で申し訳ないです。参考になれば幸いです。

補足

貴重なご意見、ありがとうございます！
大いに参考にさせていただきます。

実は今日一日、私もすごく悩んだのです。

厄介なのは、全員が一斉に行うゲームなので、
個々の試行(＝参加者各々の順位の上下)は
全然独立していないという事です。
（参加者各人の優勝確率の総和は1でなければなりません）

また、参加者の実力をまったく対等と考えると、
ｎ人で行ったゲームにおける、
参加者の各人の優勝確率は１／ｎになるはずです。

この辺が満たせると良いのですが…！！

回答No.1

Kules

このゲームは総当りでしょうか？それともトーナメント？あるいは全員で同時に勝負をするのでしょうか？
総当りあるいはトーナメントの場合「２人で戦う」ことを想定しているのでE12,E21というものの定義に意味があると思いますが、全員同時に勝負する場合は質問者様のご指摘どおり、２人のみでの勝負ではないので、このような定義はできないと思われます。

補足

回答ありがとうございます。
全員で同時に勝負します。
マリオカートのようなレースゲームだと思っていただければと思います。

個々の対戦における勝率が明らかな場合に、集団で一斉に対戦した場合の各人の優勝確率が求められるかどうかを検証しています（というか、求めたいのです…）。