パラメータ励振の数値解析

質問

ブランコのパラメータ励振は単振り子の糸の長さを変化させる場合と同じなのである程度分かるんですが、昨日この単振り子の糸を上下に振動させた場合はどうなるかと質問されてしまい、回答に困りました。
小さな模型を作って実験してみるとどうも上下させる周期を固有振動の周期の1/2にすると振幅が成長しているようなのですが・・・
運動方程式がうまく立てられません、どうなるか分かるかたおられますか？

ちなみにブランコの場合、糸の長さLをL0(1+αsin(2πt/T))と変化するとした場合の式は、

dv/dt = -{(α*(2π/T)cos(2πt/T)) / (1+αsin(2πt/T))} * v -gsinθ
dθ/dt = v / (L0(1+α*sin(2πt/T)))

としてルンゲクッタ法を用いれば順次計算できたのですが…

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

下図のようなことですね．

　　　┌─────────　ｙ　　　　　　　　　
　　　│
　∧　│
　│　│
　│支○
　│　│＼
　∨　│　＼
　　　│　　＼
　　　│　　　＼
　　　│　　　　＼
　　　│　　　　　●
　　　│
　　　│

　　　ｘ

まず，
> 上下させる周期を固有振動の周期の1/2にすると振幅が成長しているようなのですが・・・
は直感的に説明できます．
振り子が右一杯に振れてから左一杯を過ぎて再び右一杯に振れるところまで戻ってくるのが
振り子の周期です．
右に振れているときも左に振れているときも支点の上下動の効果は一緒ですから，
パラメーター励振を起こすのは支点の上下動の周期が振り子の固有周期の半分
であることは明らかでしょう．
この周期の２倍関係はこの種のパラメーター励振で共通に見られる現象です．

運動方程式を求めるには，振れ角を変数にしてラグランジアンを作り，
オイラー・ラグランジュ方程式を導くという解析力学の手法が一番簡単ですが，
ここでは初等的にやってみます．

糸の長さ L，支点の位置は x 座標が u で y 座標がゼロ，糸の張力 S，と設定します．
質点に作用する力は，張力と重力しかありません．
運動方程式は
(1)　　(d^2 x /dt^2) = - S(x-u)/L + g
(2)　　(d^2 y /dt^2) = - Sy/L
で，糸の長さの拘束条件
(3)　　(x-u)^2 + y^2 = L^2
がついています．
微小振動だと思ってしまって，(3)で y^2 を無視すると
(3')　　x - u = L
から
(4)　　(d^2 x /dt^2) = (d^2 u /dt^2)
になります(L は一定だから)．
(4)を(2)に代入して
(5)　　(d^2 y /dt^2) + [g - (d^2 u /dt^2)]/L = 0
が運動方程式です．
つまり，
(6)　　g ⇒ g - (d^2 u /dt^2)
となっていて，
支点を上下する加速度 (d^2 u /dt^2) の分だけ重力加速度が変調されたことになっています．

お礼

なるほど!!とてもよく分かりました♪図入りだと理解しやすかったです。

もっと図書館などで参考書とか探して勉強しないといけないと感じてます。
恥ずかしながらそういった本を読んでもちんぷんかんぷんなときが多いのですぐに誰かに聞いてしまいますが、自力で少しはがんばらないといけませんね。

図描くの面倒なのに本当にありがとうございました<(_ _)>
大変役に立ちましたのでお礼申し上げます。

回答No.1

good777

振り子は最初に力を加えるだけであとは触れに任せます。
最初に力を加えたときには少し速くなることが予想されます。

然るに、上下に振動させるというのは自由落下の状態にないので
問題として成立しないのでは

補足

えっ？
ブランコのように徐々に振幅が大きくなっていく状態を想定しているので、最初に力を加えてほっておくのではなく、振れに合わせてタイミングよく上下させるんですよ？
一般にパラメータ励振においてパラメータを変化させる周期Tを固有振動の周期の半分にしたとき、振動系が外部から効率よくエネルギーを吸収して、振動が成長するはずなのですが・・・