締切済み 積分？ 2008/11/07 20:20 1/(x^2 + a^2) はどうやって、xに対する積分をしますか？ t=(x^2 + a^2) としたら、dt/dx=2x xは消せないので、困ります。 みんなの回答 （3） 専門家の回答 みんなの回答 noname#71111 2008/11/09 08:32 回答No.3 答えだけでよければ、wxMaximaというフリーソフトですぐ出ます。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 info22 ベストアンサー率55% (2225/4034) 2008/11/08 02:36 回答No.2 まず x=at,dx=adt と変数変換して I=∫1/(x^2 + a^2) dx =(1/a)∫1/(t^2 +1) dt ここで t=tan(u)と変数変換して dt=du/{cos(u)}^2=du{1+(tan(u))^2}=du(1+t^2) dt/(1+t^2)=du I=(1/a)∫du =(1/a)u+C =(1/a)arctan(t)+C ← 変数をuからtに戻す =(1/a)arctan(x/a)+C ← 変数をtからxに戻す (終わり) 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 proto ベストアンサー率47% (366/775) 2008/11/07 20:35 回答No.1 騙されたと思ってarctan(x/a)をxについて微分してみましょう。 そしてそれをヒントにすれば目的の積分はすぐに計算できます。 またx=a*tan(t)として置換する手もあります。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育自然科学科学 関連するQ&A x/(a^2+x^2)の積分について x/(a^2+x^2)の積分について t=a^2+x^2とおいて dt=2xdx よって ∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫(1/t)dt=(1/2)*log(t)+C と置換積分により積分することが出来ますが、 部分積分では計算できないのでしょうか？ (a^2+x^2)'=2x ∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx として計算できると思ったのですが、うまく行きません。 どなたかアドバイス頂けたら幸いです。 (1/a) / (1 - x/a) の積分 ∫(1/a) / (1 - x/a) dx の積分は、 -log(1 - x/a)になるようなのですが、私が計算すると、 ∫(1/a) / (1 - x/a) dx → (1/a) ∫ 1 / (1 - x/a) dx ここで、t = 1 - x/a dt/dx = -1 , dt = -1 dx → (1/a) ∫ -1 / t dt → (-1/a) log t t = 1 - x/a なので、 → (-1/a) log (1 - x/a) となってしまい、1/aが余計なのです。 どこからおかしいのでしょうか？ よろしくお願いします。 定積分の問題です。 定積分の問題です。 []内に示した置換によって、次の定積分を求めよ。 ∫(0から1)x√(1-x)dx [√(1-x)=t] 次の様に解答したのですが、間違っていたらご指摘いただけたらありがたいです。 √(1-x)=tとおくと、1-x=t^2,x=1-t^2,dx=-2tdt ∫(0から1)x√(1-x)dx=∫(1から0)(1-t^2)×t×(-2t)dt =∫(1から0)(-2t^2+2t^4)dt=∫(0から1)(2t^2-2t^4)dt =[2/3t^3-2/5t^5](0から1)=2/3-2/5=4/15 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 定積分 ∫[1→2](sinπx)＾2dx この問題なんですが、置換積分を用いて t=πxとおいて dx=dt/π tの範囲は[π→2π] ∴∫[π→2π](1/π)(sint)＾2dt ＝(1/π)∫[π→2π](sint)＾2dt ＝(1/π)[(1/3cost)(sint)＾3][π→2π] ＝０ ってなったんですが答えは1/2でした。 どうすればいいでしょうか？ 定積分の問題です 解答したものの自信がないので すみませんが、わかる方、これでいいか教えてください。 (1)∫{1→2}(2x-3)^3dx 2x-1=ｔとおく。 dt/dx=2→dx=dt/2 x │1→3 ─┼─── t │1→3 (原式)∫{1→3}t^3*(dt/2)=1/2[t^4/4]{1→3} =1/2(81/4-1/4)=10 (2)∫1/(x(x+1)=log(x)-log(x+1)+C (Cは積分定数) 積分がわかりません いくつかわからないので教えていただきたいです。∫は省略します。 まずlog(1+√x)dxですが、t=√xと置換してdx=2tdtとなり 2tlog(1+t)dtとなります。しかしここからのやり方がわかりません。 次にcos^3xsin^2xdxですが、部分積分を使ってやってみたのですがどうもうまくいきません・・・しかし部分積分を使うのは間違いなさそうなんです。 次に(1/(x^3-x))dxですが、この式は1/x(1-x)(1+x)に変形できます。 分母が２つの掛け算ならば部分分数にできるのですが３つの掛け算なのでどうしたらいいのかわかりません。 次に(x/(x^3+1))dxですが、この式をx/(x+1)(x^2-x+1)と変形したあとのやり方がわかりません。 最後に、これが一番聞きたいことなんですが (1/cosx)dxの積分です。 分子分母にcosxを掛けてcosx/cos^2xとします。 sinx=tとおくと、dx=dt/cosxとなり、最初の式はdt/(1-t^2)になります。 部分分数にして1/2∫(1/(1+t)+1/(1-t))dtになります。 よって1/2(log|1+t|-log|1-t|)=1/2log|(1+sinx)/(1-sinx)|になりますよね？？ でも、解答にはlog|(1+sinx)/cosx|って書いてあるんです。 どこが間違ってるのかわかりません。 以上長いですが教えていただけたら幸いです。 偶関数、奇関数の定積分の式変形について X=-tとおくと、dx=(-1)dt Xが-a→0のとき、tはa→0 下端-a、上端0の定積分∫f(x)dxは =下端0、上端aの定積分∫f(t)dtと変形できる。 ここまでは分かるのですが、そのあと =下端0、上端aの定積分∫f(x)dxと変形できてしまう理由が分かりません。 tの関数からxの関数に戻したとき、上端と下端の値も変わってしまい、もとの式にもどってしまいます。 定積分と微分の関係？ F(x)=∫f(t)dt (定積分の区間は下端a、上端x)⇔F'(x)=f(x)かつF(a)=0 を証明する。 （→）d/dx・∫f(t)dt (定積分の区間は下端a、上端x）=f(x) かつF(a)=∫ｆ(t)dt (定積分の区間は下端a、上端a)=0 であるから容易に証明される。 （←）F'(x)=f(x)であるからF(x)は不定積分の1つであり ∫f(x)dx=F(x)+C(Cは積分定数） またF(a)=0であるから ∫f(t)dt (定積分の区間は下端a、上端x)=[F(t)] (定積分の区間は下端a、上端x)=F(x)-F(a)=F(x) よって証明された。 とかいてあったのですがどういう意味なのかわからないんです！！ 教えてください！！ 不定積分の解き方がわかりません。 不定積分の解き方がわかりません。 (1)I=∫(2x+3)/(x^2+2x+2) dx (2)I=∫x/{(x+1)^(1/3) -1} dx ２番は、 {(x+1)^(1/3)=t として、 x+1=t^3 x=t^3-1 よって、 dx=3t^2 dt となって、 I=∫{(t^3-1)/(t-1)}* 3t^2 dt まではできたのですが・・・・ これからどう展開すればいいのかわかりません (>_<) どなたかお願いします。 不定積分の計算について 不定積分の式で置換不定積分法で解いてますが、 下記は参考書にのっていたものです。 計算をみていくと、どうしてもわからない場所が出てきました。 計算式の最後から2番目より分かりません。教えてください宜しくお願いします。 ∫x(5x-2)^3 dx t=5x-2 とおくと dt=5dx すなわちdx=(1/5)dtとなる。 またx=(t+2)/5 = ∫(t+2)/5 ・t^3 ・ (1/5)dt =1/25 ∫(t^4 + 2t^3 )dt =1/25(1/5t^5 + 2・1/4t^4)+C =1/25(1/5 (5x-2)^5 + 1/2(5x-2)^4 ) + C =1/250 (5x-2)^4 {2{5x-2}+5) + C ← ここから分かりません =1/250(5x-2)^4 (10x+1) + C ← 積分 証明 問題 積分 証明 問題 ∫[0～π]（x・sinx）dxを求めよ。 I=∫[0～π]（x・sinx）dxとおく。 x=π-tとおくと、dx/dt=-1、積分範囲はπ～0 I=∫[π～0]（π-t）・sin（π-t）（-dt） =∫[0～π]（π-t）・sin（π-t）dt =∫[0～π]（π-t）・(sint)dt 2I=∫[0～π]（x・sinx）dx+∫[0～π]（π-x）・(sinx)dt =∫[0～π]πsinxdx =2π I=π 一点分からない点があります。 ∫[0～π]（π-t）・(sint)dt=∫[0～π]（π-x）・(sinx)dt について。単純にtをxに置き換えただけだと思いますが、 x=π-tと置換しているのに、t=xと同じ変数を使って再度 置換して良いのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。 置換積分法について 今置換積分を一人寂しく学んでいる者です(´・ω・`) 聞きたいことはいろいろあります(；・∀・) ∫x/(x+2)^2dx があったとしたらx+2をtに置き換えますよね？ そうしたらdxをdtに変換するじゃないですか？ その変換の仕方がいまいちわかりません＞＜ そもそもdxとはどういう意味かさえ危ないです＞＜ 上の式を計算すると∫t-2/t^2dtになり ∫(1/t-2/t^2)dtになるそうです。 そしたら logltl+2/t+cになると書いてあるのですが、2/t^2を積分したら 6/t^3に自分が積分したらなってしまいました；； どうやったら2/tになるのでしょうか＞＜ あとはｔをＸに変換して答えになるので問題ないです。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 線積分 xy面上のスカラー場f(x,y)=xyに対し、線積分∫[C]drfを求めよ。 ただし、積分経路Cは(0,0)→(1,1)を結ぶ経路である。 C:x = t, y = t (t=0～1) dx/dt = 1 dy/dt = 1 ∴ ds = {√((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)}・dt = √(2)dt ここからどうすればよいのですか？ 詳しい解説お願いします。 微分 積分 問題 微分 積分 問題 F(x)=∫［a～x］((x-t)^2)f(t)dtのときdF/dxを求めよ。 という問題なのですが、原始関数F(x)を求めて、微分すればよいのですが F(x)=∫［a～x］((x-t)^2)f(t)dtの積分がわかりません・・・ どのようにすれば良いのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。 微分・積分 問題 微分・積分 問題 d^2/dx^2（∫[0→x]（x-t）ｆ（t）dt）=ｆ（x）を証明せよ。 x・∫[0→x]ｆ（t）dt－∫[0→x]t・ｆ（t）dtとしました。 上の式を積分して、2回微分しようと考えているのですが、 ∫[0→x]t・ｆ（t）dtが分かりません。 d/dx（x・∫[0→x]ｆ（t）dt)－d/dx（∫[0→x]t・ｆ（t）dt）と１回微分して、さらにもう一度微分を行うと、d/dx（∫[0→x]ｆ（t）dt+xf(x)-xf(x)) よって、d/dx（∫[0→x]ｆ（t）dt=f(x) 解き方は合っているでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。 e＾-1/Tの積分 現在、次のような微分方程式を解かなければならず、 悪戦苦闘しています。 dx/dT=k/a*exp(-E/RT)*(1-x) この式のうち、k,a,E,Rは定数で既知なので、無視すると、 dx/dT = exp(-1/T)*(1-x) という微分方程式になります。 私はこの式をxとTの変数分離型の微分方程式と捉えて次のように変形しました。 dx/(1-x) = exp(-1/T)dT これの両辺を積分するのですが、左辺は ln{1/(1-x)} という答えになるのがわかるのですが、右辺の ∫exp(-1/T)dT という積分が解けません。 どなたか教えていただけませんでしょうか。 よろしくお願いいたします。 広義積分 こんばんは。工学部の大学一回生です。 広義積分について質問します。 ∫6x^2/(1+x^3)^3dx 範囲は０から∞です。 x^3=t とおいて dx=dt/3x^2 という感じで解いたら、 ∫2t/(1+t)^3dt 範囲は０から∞です。 となりました。 ここからどのように解けばわかりません。 ココからの解き方あるいは、間違ってたら教えてください。 置換積分法 ∫x(3x-2)^3 dx を(t=3x-2)の置換により、この不定積分を求めます。 x=(1/3)t + (2/3)であるから dx/dt=1/3 それで、 ∫x(3x-2)^3 dx=∫(1/3)(t+2)t^3×(1/3)dt この式変形が分かりません・・・。 「∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt [x=g(t)] の公式を使ってるのかなぁ・・・とも思いつつうえのようには出来ません。 ちなみにdx/dtっていうのはdxをdtで微分しますって意味でしたよね・・・？ このdってのは「微分します」ってことでしょうか・・・? いつもあまり意味なく形式的に書いてしまっていたので・・・ おねがいします。 積分計算 以下の積分計算、間違っているのですが、どこで間違っているのかご指摘お願いいたします。 ∫{(sin x)^3・cos x }dx cos x = t とおくと、 -sin x ・ dx = dt よって、与式は ∫-(sin x)^2 ・ t ・ dt = ∫ (t^2 - 1)t・dt = 1/4 (t^4 - 2t^2) = 1/4 (cos x)^2 {(cos x)^2 -2} 積分 ∫(1/(1+(x^2)))dx =arctan(x) ということから置換積分を用いて t=ixとおいて dx/dt=-i ∫(1/(1-(x^2)))dx =∫(1/(1+(t^2)*(-i)))dt =-i*∫(1/(1+(t^2)))dt =-i*arctan(t) =-i*arctan(ix) となってしまいました。 最初の式には、虚数単位がなかったのですが、 結局、虚数単位が二ヶ所出てきました。 この式は複素関数なのでしょうか。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 自然科学 理科（小学校・中学校）化学物理学科学生物学地学天文学・宇宙科学環境学・生態学その他（自然科学） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 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